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mathe 1

 

Wie immer: Über jeden Input bin ich sehr dankbar. Mathe ist einfach nichts für mich.^^

Gefragt von
b) und c) sehen nach Induktion aus :P

Bei a) kannst du die Formeln aus der Aufgabe:

https://www.mathelounge.de/8353/zeigen-dass-alle-reellen-zahlen-gilt-sin-cos-cos-cos²x-sin²x

Bestimmt brauchen.

sin(3x) = sin(x + 2x)            |Additionstheorem für sin

= sin(x) * cos (2x) + cos(x) sin(2x)

Jetzt die Formeln aus der angegebenen Aufgabe einsetzen und berücksichtigen, dass mit Hilfe von

sin2(x) + cos2(x) = 1         jeder cos im Prinzip als sin ausgedrückt werden kann.

Bei b) und c) handelt es sich um ungerade Exponenten der Sinusfunktion und ungerade 'Frequenzen'. Versuch das mal mit einem Induktionsbeweis.

 

@ hanswurst5000

ich denke solche kommentare kann man sich einfach sparen. auch wenn es immerhin ein tip ist, so kann man wenigstens noch erklärungen dazu geben und einfach noch nen smiley hinschreiben.

es werden hier nicht grundlos fragen gestellt nur um dann solche antworten zu bekommen, die einem fast nicht weiterhelfen
"Über jeden Input bin ich sehr dankbar."

1 Antwort

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Das ist jetzt mal Aufgabe a)

sin(3x) = sin(x + 2x)            |Additionstheorem für sin

= sin(x) * cos (2x) + cos(x) sin(2x)                |Doppelwinkelformeln

= sin(x)*(cos2 x   - sin2 x) + cos x * 2 cos x sinx

= sinx (3 cos2 x - sin2 x)

= sinx ( 3 - 3sin2 x - sin2 x)

= 3 sinx - 4 sin3 x                  |+sin(3x) + 4 sin3 x , :4

Umformen auf 

sin3 x = 1/4 (3 sin x - sin(3x))     q.e.d. a)

Beantwortet von 141 k
Bei b) bin ich an einer Stelle stehen geblieben und weiss nicht weiter. Kann jemand mit der Lösung helfen?
@Hat3r : Dann brauchst du vielleicht nicht mehr die ganze Umformung. Wie weit bist du denn bei b)?
Keine Ahnung ob ich das richtig mache. Da kommt so was wie sin^2n+1+a(2n+3)*sin(2n+3) und ...?
Also: Das x sollte nicht aus dem Argument des sinus verschwinden.

Aber als Resultat des Induktionsschritts:

 sin^(2n+3) x = sin^(2n+1) x +a(2n+3)*sin((2n+3)x)

sieht ganz gut aus. Genau das brauchst du da am Schluss auch.
Dieses x habe ich vergessen. Ja ok aber was kann ich jetzt machen um zu zeigen dass das das gleiche ist?

Ich bin da noch nicht fertig: Aber, wenn du die noch nicht benutzt hast solltest du ev. Das Additionstheorem für Sinus und dann die Doppelwinkelformeln benutzen.

sin((2n+3)x) = sin((2n+1)x + 2x)

=sin((2n+1)x)cos(2x) + (cos(2n+1)x)sin(2x)

… Hab halt gedacht, du hast das schon. Ohne Gewähr, dass da was Schlaues draus wird.

Gemäss Aufgabenstellung dürfen sich übrigens die ganzen Koeffizienten am ändern. Das sollte dich nicht stören.

wie kommst du von sin((2n+3)x) auf sin((2x+1)+2x)?

Zu Aufgabe b) 

Was hier folgt ist derzeit leider eine Mischung von Aufgabe b) und c)

Zeigt aber eigentlich etwas umständlich, wie man c) beweisen kann.

Dröselt das bitte selbst noch auf:

Verankerung n=1: sin x = sin x, und n=2 vgl. Aufg. a)

Induktionsschritt:

 

Fortsetzung des Beweises:

Die beiden Formeln, die nun benutzt werden, stammen aus:

https://www.mathelounge.de/8353/zeigen-dass-alle-reellen-zahlen-gilt-sin-cos-cos-cos²x-sin²x

Rest des Beweises

 

Hier noch der Latex- Code dazu:

Vor:\quad { sin }^{ 2n+1 }x\quad ={ a }_{ 1 }{ sin\quad x\quad +\quad a }_{ 3 }\quad { sin }^{ 3 }\quad x\quad +‚Ķ+{ a }_{ 2n+1 }{ sin }(2n+1)x\\ Zu\quad zeigen:\quad { { sin }^{ 2n+3 }x\quad ={ \quad sin }^{ 2n+1 }x\quad sin }^{ 2 }x\quad =\quad { b }_{ 1 }{ sin\quad x\quad +\quad b }_{ 3 }\quad { sin }^{ 3 }\quad x\quad +‚Ķ+{ b }_{ 2n+3 }{ sin }(2n+3)x\\ \\ Beweis:\quad { { sin }^{ 2n+3 }x\quad ={ \quad sin }^{ 2n+1 }x*\quad sin }^{ 2 }x=\\ ({ a }_{ 1 }{ sin\quad x\quad +\quad a }_{ 3 }\quad { sin }^{ 3 }\quad x\quad +‚Ķ+{ a }_{ 2n+1 }{ sin }(2n+1)x)*{ sin }^{ 2 }x=\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad |Bild1\\ ={ a }_{ 1 }{ { sin }^{ 3 }\quad x\quad +\quad a }_{ 3 }\quad { sin }^{ 5 }\quad x\quad +‚Ķ{ a }_{ 2n-1 }{ sin }^{ 2n+1 }x\quad +{ a }_{ 2n+1 }{ sin }(2n+1)x*{ sin }^{ 2 }x=\\ =nur\quad Summanden\quad mit\quad ungeraden\quad Potenzen\quad bis\quad 2n+1\quad von\quad sin\quad x\quad +\quad Rest\\ Wir\quad m√ºssen\quad nur\quad noch\quad den\quad Rest\quad ansehen!\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad |Bild\quad 2\\ \\ Lassen\quad da\quad gleich\quad noch\quad den\quad Koeffizienten\quad { a }_{ 2n+1 }\quad weg,\quad \\ der\quad kann\quad sp√§ter\quad immer\quad noch\quad eingesetzt\quad werden\\ Restrest\quad { sin }(2n+1)x*{ sin }^{ 2 }x\quad =\quad |{ sin }^{ 2 }x\quad Formel\quad aus\quad √§hnl.\quad Fragen\\ { sin }(2n+1)x*\quad \frac { 1 }{ 2 } (1-cos\quad 2x)\quad =\\ \frac { 1 }{ 2 } sin(2n+1)\quad x\quad -\quad \frac { 1 }{ 2 } sin(2n+1)\quad x\quad *cos\quad 2x\quad =\\ 1.\quad Teil\quad kann\quad gem√§ss\quad Induktionsvoraussetzung\quad als\quad Summe\quad von\quad ungeraden\quad Potenzen\quad \\ von\quad sin\quad x\quad dargestellt\quad werden.\quad Die\quad Aufg.\quad reduziert\quad sich\quad zur\quad Betrachtung\quad des\quad 2.\quad Summanden.\\ Wiederum\quad ohne\quad reeller\quad Faktor.\\ sin(2n+1)x\quad *cos\quad 2x\quad =\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad |\quad letzte\quad Formel\quad bei\quad der\quad √§hnlichen\quad Frage\\ \frac { 1 }{ 2 } (sin(2n+1-2)x\quad +\quad sin(2n+3)x)=\\ \frac { 1 }{ 2 } sin(2n-1)x\quad +\frac { 1 }{ 2 } sin(2n+3)x)\\ Wiederum\quad kann\quad der\quad erste\quad Teil\quad nach\quad Voraussetzung\quad als\quad Summe\quad von\quad ungeraden\quad Potenzen\quad \\ von\quad sin\quad geschrieben\quad werden.\quad Der\quad zweite\quad Teil\quad enth√§lt\quad nun\quad die\quad verlangte\quad Funktion\\ sin(2n+3)x.\\ Wir\quad haben\quad gezeigt,\quad dass\quad die\quad einfach\quad noch\quad einen\quad reellen\quad Faktor\quad { b }_{ 2n+3 }\quad bekommt.\quad q.e.d.\\ \quad \\ 

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