Grenzwert von Folgen Notation

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie den Limes a der Cauchy-Folge

$$x_{1} = 1; \text{ }x_{n+1} = \frac{x_{n}}{1+x_{n}}$$

Problem/Ansatz:

Mir ist bewusst, dass für n -> inf 2 herauskommt.

Ich bin mir aber nicht sicher, wie genau ich das aufschreiben soll. Also, ob das so schon reicht. (Universität, 1. Semester)

Die Aufgabe soll nämlich 3 Punkte geben und das ist ziemlich viel für diese einfache "Rechnung".

Comments

Nach meinen Berechnungen ist $x_n=\frac1n$. Damit wäre der GW gleich Null.

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Also eigentlich musst du erstmal zeigen, dass die Folge konvergiert. Das ist aber klar, da cauchy folge in R und damit Konvergent wegen Vollständigkeit von R

Um den Grenzwert Notation exakt aufzuschreiben musst du erstmal sagen, dass der GW von an+1 und an gleich ist, dann kannst du den Ansatz wählen x=x/(1+x) und dann kommt aber nicht 2 heraus, Sonden wie der obige Kommentar erwähnt: 0

Answer 1

Aloha :)

Wir untersuchen die rekursiv definierte Folge$$x_{n+1}=\frac{x_n}{1+x_n}=\frac{1+x_n-1}{1+x_n}=1-\frac{1}{1+x_n}\quad;\quad x_1=1$$

a) Beschränktheit

Wir zeigen, dass $0<x_n\le1$ für alle $n\in\mathbb N$ gilt, mit vollständiger Induktion. Wegen $x_1=1$ ist der Induktionsanfang bei $n=1$ gesichert. Im Induktionsschritt gehen wir nun von der Induktionsvoraussetzung aus:$$0<x_n\le1\implies1<1+x_n\le2\implies1>\frac{1}{1+x_n}\ge\frac{1}{2}\implies$$$$-1<-\frac{1}{1+x_n}\le-\frac{1}{2}\implies0<1-\frac{1}{1+x_n}\le\frac{1}{2}\le 1\implies0<x_{n+1}\le1\quad\checkmark$$

b) Monotonie

Wir untersuchen die Folge auf Monotonie:$$x_{n+1}-x_n=1-\frac{1}{1+x_n}-x_n=(1-x_n)-\frac{1}{1+x_n}=\frac{(1-x_n)(1+x_n)}{1+x_n}-\frac{1}{1+x_n}$$$$\phantom{x_{n+1}-x_n}=\frac{1-x^2_n}{1+x_n}-\frac{1}{1+x_n}=\frac{1-x_n^2-1}{1+x_n}=-\frac{x^2}{1+x_n}<0$$Die Folge ist also streng monoton fallend.

c) Grenzwertbestimmung

Jede monotone beschränkte Folge konvergiert. Daher existiert der Grenzwerte $a$.$$\left.\lim\limits_{n\to\infty}x_{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{1+x_n}\right)\quad\right|\text{Grenzwertsätze}$$$$\left.\lim\limits_{n\to\infty}x_{n+1}=1-\frac{1}{1+\lim\limits_{n\to\infty} x_n}\quad\right|a=\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\lim\limits_{n\to\infty}x_{n+1}$$$$\left.a=1-\frac{1}{1+a}\quad\right|\cdot(1+a)$$$$\left.a(1+a)=1+a-1=a\quad\right|-a$$$$\left.a(1+a)-a=0\quad\right|\text{ausrechnen}$$$$\left.a^2=0\quad\right|\sqrt{\cdots}$$$$a=0$$

Answer 2

Hallo

der GW ist sicher nicht 2, denn wenn für große n x_n≈2 dann x_n+1 ≈2/3

rechne mal die ersten paar Folgeglieder aus, dass beweise deine Vermutung durch Induktion  , Arsinoe sagte schon die Vermutung.

Gruß lul