Aloha :)
Wir untersuchen die rekursiv definierte Folge$$x_{n+1}=\frac{x_n}{1+x_n}=\frac{1+x_n-1}{1+x_n}=1-\frac{1}{1+x_n}\quad;\quad x_1=1$$
a) Beschränktheit
Wir zeigen, dass \(0<x_n\le1\) für alle \(n\in\mathbb N\) gilt, mit vollständiger Induktion. Wegen \(x_1=1\) ist der Induktionsanfang bei \(n=1\) gesichert. Im Induktionsschritt gehen wir nun von der Induktionsvoraussetzung aus:$$0<x_n\le1\implies1<1+x_n\le2\implies1>\frac{1}{1+x_n}\ge\frac{1}{2}\implies$$$$-1<-\frac{1}{1+x_n}\le-\frac{1}{2}\implies0<1-\frac{1}{1+x_n}\le\frac{1}{2}\le 1\implies0<x_{n+1}\le1\quad\checkmark$$
b) Monotonie
Wir untersuchen die Folge auf Monotonie:$$x_{n+1}-x_n=1-\frac{1}{1+x_n}-x_n=(1-x_n)-\frac{1}{1+x_n}=\frac{(1-x_n)(1+x_n)}{1+x_n}-\frac{1}{1+x_n}$$$$\phantom{x_{n+1}-x_n}=\frac{1-x^2_n}{1+x_n}-\frac{1}{1+x_n}=\frac{1-x_n^2-1}{1+x_n}=-\frac{x^2}{1+x_n}<0$$Die Folge ist also streng monoton fallend.
c) Grenzwertbestimmung
Jede monotone beschränkte Folge konvergiert. Daher existiert der Grenzwerte \(a\).$$\left.\lim\limits_{n\to\infty}x_{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{1+x_n}\right)\quad\right|\text{Grenzwertsätze}$$$$\left.\lim\limits_{n\to\infty}x_{n+1}=1-\frac{1}{1+\lim\limits_{n\to\infty} x_n}\quad\right|a=\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\lim\limits_{n\to\infty}x_{n+1}$$$$\left.a=1-\frac{1}{1+a}\quad\right|\cdot(1+a)$$$$\left.a(1+a)=1+a-1=a\quad\right|-a$$$$\left.a(1+a)-a=0\quad\right|\text{ausrechnen}$$$$\left.a^2=0\quad\right|\sqrt{\cdots}$$$$a=0$$
