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Aufgabe:

a,b sind teilerfremd, gilt dann: a|z und b|z => a*b|z bzw.

a mod z= b mod z = 0 mod z => a*b mod z = 0 mod z


Problem/Ansatz:

Ich konnte folgendes Theorem zum Verständnis des chinesischen Restsatz nicht beweisen:

Sei a,b ganze Zahlen mit a|z und b|z und ggT(a,b)=1, dann gilt: a*b|z


Beweisansatz:

Sei a,b mit a|z und b|z. Dann gibt es k,l mit a*k=z und b*l=z. Dann gilt

a*k * b*l = z2 gdw. a*b * k*l = z2

Wegen a*b|z sollte Behauptung stimmen. (*)

(*) Macht das Sinn?

Tut mir leid, wenn die Frage schon beantwortet wurde, ich habe im Forum leider nichts gefunden.

von

Da ggT(a,b)=1 existieren u,v mit au+bv=1.

also auz+bvz=z.

jetzt kann man z=a*n und z=b*m mit geegineten n, m schreiben.

also aubm + bvan = ab(um+vn)= z

2 Antworten

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Ich würde es mit der Primfaktorzerlegung begründen:

ggT(a,b)=1 ==>  a und b haben keine gemeinsamen Primfaktoren.

Angenommen a hat x (nicht notwendig verschiedene) Primfaktoren

und b hat y.  Da es keine gemeinsamen gibt, hat a*b genau x+y

(nicht notwendig verschiedene) Primfaktoren.

Die x Stück von a sind wegen a|z alle in der PFZ von z

und die y Stück von b auch.

Also sind alle x+y Stück in der  r PFZ von z, also a*b|z

von 228 k 🚀

"Die x Stück von a sind wegen a|z alle in der PFZ von z

und die y Stück von b auch.

Also sind alle x+y Stück in der r PFZ von z, also a*b|z"


Ich hab mir ein kleines Gegenbsp ausgedacht:

2 = 2 | 12 und 2*2 = 4 | 12

Nach deiner Aussage gilt: 2*4 = 2*(2*2) | 12, weil 2 | 12, aber

2*(2*2) = 8 | 12 gilt nicht.


Kurz: Falls 2 | 12 gilt, heißt es nicht dass 2 * z | 12 gilt, mit z ist ganze Zahl.

Ich hab mir ein kleines Gegenbsp ausgedacht:
2 = 2 | 12 und 2*2 = 4 | 12

Dein Beispiel erfüllt nicht die Bedingung, dass ggT=1 sein soll.

ggT(2;4)=2

:-)

Das gegenbsp bezog sich auf die zitierte Aussage. Die Aussage wollte ich verneinen, weil die Voraussetzung nicht genutzt wurde. Zumindest wie ichs verstanden habe

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Ein Beispiel:

14|420

15|420

ggT(14;15)=1

14*15=210

210|420

:-)

von 28 k

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