Wie groß muss das Verhältnis sein, damit V(r,L) bei gegebenemL maximal wird?

Question

Aufgabe:  Wir betrachten einen Kegel mit Mantellinie L und Radius der Kegelgrundfläche r. Das Volumen berechnet sich dann als V(r,L) = \( \frac{1}{3} \) πr²h = \( \frac{1}{3} \) πr²( \sqrt{(L²-r²)} \)   . Wie groß muss das Verhältnis α := \( \frac{r}{L} \) sein, damit V(r,L) bei gegebenem
L maximal wird?

Anwendung: In welche Eiswaffel passt am meisten?

Problem/Ansatz:

Ich habe keine Ahnung was ich hier machen solte :(

Answer 1

α := \( \frac{r}{L} \) nach r auflösen und in V_L(r)  = \( \frac{1}{3} \) πr²( \sqrt{(L²-r²)} \) einsetzen. Dann entsteht eine Funktionenschar mit dem Scharparameter L und der Variablen α. Nullstelle der Ableitung auf Maximum untersuchen und in α := \( \frac{r}{L} \) einsetzen