Menge explizit angeben und prüfen, ob es ein Untervektorraum ist.

Question

Aufgabe:

Hab folgende Frage:

Ich soll diese Menge explizit angeben:

K = {b∈ℝ | Ax = b ist eindeutig lösbar} ⊆ $ℝ^{4}$

mit A = $\begin{pmatrix} 1 & 3 & -1\\ -1 & -1 & 3\\ 0 & 1 & -1\\ 2 & 9 & 3\end{pmatrix}$ ∈ $ℝ^{4×3}$

Und ist K ein Unterraum von $ℝ^{4}$ ?
Problem/Ansatz:

Also ich habe b als b = $\begin{pmatrix} a\\b\\c\\d \end{pmatrix}$ festgelegt und dann die Matrix (A|b) in Zeilenstufenform gebracht.

Nur war dann meine letzte Zeile diese: (0 0 0 | 6d+10c-14b-26a)

Und dann ist Ax = b eindeutig lösbar, falls der hintere Teil gleich Null ist. Nur glaub ich, kann ich das nicht bestimmen. War mein Ansatz schon falsch? Danke

Answer 1

Aloha :)

Aus den ersten 3 Zeilen der Matrix kannst du die eindeutige Lösung $\vec x\in\mathbb R^3$ bestimmen:

$$\begin{pmatrix}1 & 3 & -1\\-1 & -1 & 3\\0 & 1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}\quad\implies\quad$$$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 3 & -1\\-1 & -1 & 3\\0 & 1 & -1\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}=\frac{1}{4}\begin{pmatrix}2 & -2 & -8\\1 & 1 & 2\\1 & 1 & -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}\quad\implies$$$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{b_1}{2}-\frac{b_2}{2}-2b_3\\[1ex]\frac{b_1}{4}+\frac{b_2}{4}+\frac{b_3}{2}\\[1ex]\frac{b_1}{4}+\frac{b_2}{4}-\frac{b_3}{2}\end{pmatrix}$$

Aus der letzten Zeile der Matrixgleichung können wir nun $b_4$ bestimmen:$$b_4=2x_1+9x_2+3x_3$$$$\phantom{b_4}=(b_1-b_2-4b_3)+\left(\frac{9}{4}b_1+\frac{9}{4}b_2+\frac{9}{2}b_3\right)+\left(\frac{3}{4}b_1+\frac{3}{4}b_2-\frac{3}{2}b_3\right)$$$$\phantom{b_4}=4b_1+2b_2-b_3$$Damit können wir die gesuchten Vektoren $\vec b$ allgemein angeben:

$$\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\\b_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\\4b_1+2b_2-b_3\end{pmatrix}=b_1\begin{pmatrix}1\\0\\0\\4\end{pmatrix}+b_2\begin{pmatrix}0\\1\\0\\2\end{pmatrix}+b_3\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-1\end{pmatrix}$$Diese Vektoren $\vec b$ sind Elemente eines Untervektorraums mit der Dimension $3$, denn die drei erhaltenen Richtugnsvektoren sind linear unabhängig.

Answer 2

hallo

b ist ja eine Linearkombination der Spaltenvektoren der Matrix, falls diese linear unabhängig sind, hat das GS jeweils eine eindeutige Lösung- also kannst du  nachdem du die Lin Unabhängigkeit nachgewiesen hast  als linearkombination hinschreiben. Dein verfahren ist auch ok

ich konnte allerdings deine letzte  Zeile nicht nachvollziehen, wenn sie richtig ist kannst du  sie aber als Bedingung für b hinschreiben und eine Basis suchen, da du nur eine Bed hast ist der VR ein 3s UVR von R⁴

Gruß lul