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Welcher Typ Quadrik wird durch die Gleichung


xy+xz+yz=1


beschrieben?



Frage: Wie soll das gehen, wenn die Gleichung nicht quadratisch ist?

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Hallo,

schreibe die Quadrik in der Matrix-Vektor-Form:$$(x\, y \, z)\begin{pmatrix}0 & 0.5 & 0.5\\ 0.5 & 0 & 0.5\\ 0.5 & 0.5 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}-1=0$$ Wenn es dir nur um den Typ geht, kannst du die erweiterte Darstellungsmatrix anschauen \(\overline{A}=\begin{pmatrix} A & b \\ b^T & c\end{pmatrix}\), wobei von der typischen Form \(x^TAx+b^Tx+c=0\) ausgegangen wird.

Es gilt dann:

- Kegeliger Typ: \( \operatorname{rang}(\bar{A})=\operatorname{rang}(A \mid b)=\operatorname{rang}(A) \)

- Mittelpunktsquadrik. \( \operatorname{rang}(\bar{A})>\operatorname{rang}(A \mid b)=\operatorname{rang}(A) \)
- Parabolischer Typ: rang \( (A \mid b)>\operatorname{rang}(A) \)
Eine Quadrik heißt dabei ausgeartet, falls \( \operatorname{det} \bar{A}=0 \)

Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Quadrik#Typen

Um genauer zu bestimmen, um was es sich handelt, ist es ggf. hilfreich eine Hauptachsentransformation durchführen.

Hier muss nur in Hauptachsenlage gedreht werden. Es gilt, weil \(b^T=0\) ist keine Translation.

Musterlösung: Zweischaliges Hyperboloid

blob.png

Avatar von 28 k
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Mein CAS zeichnet diese Darstellung:

blob.png

Aber die anderen beiden Antwortgeber haben sicher recht.

Avatar von 123 k 🚀
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grundlagen hat

https://www.geogebra.org/m/pempffkx

blob.png

hyperboloid

\(  q_N: \, x^{2} - \frac{1}{2} \; y^{2} - \frac{1}{2} \; z^{2} = 1\)

Avatar von 21 k

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