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Aufgabe:

Bestimmen Sie, für welche λ ∈ ℝ die reelle Matrix


Aλ=\( \begin{pmatrix} 1 & λ & 0 & 0 \\ λ & 1 & 0 & 0 \\ 0 & λ & 1 & 0 \\ 0 & 0 & λ & 1 \end{pmatrix} \)

invertierbar ist, und berechnen Sie für diese Werte von λ die inverse Matrix Aλ-1.


Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass ich die Matrix in Zeilenstufenform bringen muss (durch elementare Zeilenumformungen), aber ich kriege es nicht hin, da ich das λ in der zweiten Zeile nicht wegbekomme.

Eventuell bekomme ich dann den Rest der Aufgabe alleine hin...

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Für \(\lambda = 0\) ist die Matrix sicher invertierbar, also betrachtest du im Weiteren einfach \(\lambda\ne 0\) und subtrahierst dann das \(\lambda\)-Fache der ersten Zeile von der zweiten Zeile.

Oh, da stand ich wohl auf dem Schlauch, danke.

Aber wie kommt man jetzt von  Aλ=\( \begin{pmatrix} 1 & λ & 0 & 0 \\ 0 & 1-λ*λ & 0 & 0 \\ 0 & λ & 1 & 0 \\ 0 & 0 & λ & 1 \end{pmatrix} \) auf die Zeilenstufenform?
Vermutlich stehe ich schon wieder auf dem Schlauch, aber mir fällt keine Umformung ein...

Es ist \(\det A_\lambda=\det A_\lambda^\top=\begin{vmatrix}1&\lambda\\\lambda&1\end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}1&\lambda\\0&1\end{vmatrix}=1-\lambda^2.\) Also ist \(A_\lambda\) für alle \(\lambda\in\mathbb R\setminus\lbrace-1,1\rbrace\) invertierbar.

2 Antworten

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Beste Antwort

Hm,

ich liste mal die einzelnen Schritte in Elementarmatrizen auf , a=λ

\(\scriptsize\left\{ \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&\frac{-1}{a^{2} - 1}&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrrr}1&\frac{a}{a^{2} - 1}&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&-a&1\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&\frac{a}{a^{2} - 1}&1&0\\0&0&0&1\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\-a&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{array}\right) \right\} \)

daraus kann man ablesen...

Avatar von 21 k
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Aloha :)

Eine quadratische Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich Null ist. Bei der Determinante hier können wir rechts oben einen quadratischen Block erkennen, der aus lauter Nullen besteht. Dadurch wird die Berechnung der Determinante sehr erleichtert. Wir brauchen nur das Produkt der Determinanten entlang der "Hauptdiagonalen" zu multiplizieren:

$$\left|\begin{array}{rr|rr}1 & \lambda & 0 & 0\\ \lambda & 1 & 0 & 0\\\hline0 & \lambda & 1 & 0\\0 & 0 & \lambda & 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rr}1 & \lambda\\\lambda & 1\end{array}\right|\cdot\left|\begin{array}{rr}1 & 0\\\lambda & 1\end{array}\right|=(1-\lambda^2)\cdot1=(1-\lambda)(1+\lambda)$$Die Matrix ist also für alle \(\lambda\ne\pm1\) invertierbar.

Avatar von 148 k 🚀

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