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Aufgabe:

Neue Aufgabe der Woche noch schwerer


Problem/Ansatz:

Ganze Aufgabe steht auf dem Bild Screenshot_20210609_102011.jpg

Text erkannt:

Aufgabe der Woche
In einem Viertelkreis ABC A B C ist ein Kreis k(M;r) k(M ; r) derart einbeschrieben, dass er sowohl die Kreislinie BC^ \widehat{B C} in P P als auch den Radius AB \overline{A B} in Q Q berührt. CS \overline{C S} sei eine Tangente von C C an den Kreis. Bestimme das Verhältnis st \frac{s}{t} .

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Hallo,

so schwer ist es nicht. Dreimal Pythagoras und das Ergebnis steht ;-)

blob.png

aus AQM\triangle AQM folgt (Bem.: AP=R|AP|=R)(Rr)2=t2+r2(R-r)^2=t^2+r^2 und aus den beiden rechtwinkligen Dreiecken MCS\triangle MCS und CMQ\triangle CMQ' folgts2+r2=t2+(Rr)2s^2+r^2 = t^2 + (R-r)^2Setzt man den Term (Rr)2(R-r)^2 aus der ersten Gleichung in die zweite ein, so folgts2+r2=t2+t2+r2s2=2t2st=2\begin{aligned} s^2+r^2 &= t^2 + t^2+r^2 \\ s^2 &= 2t^2 \\ \frac st &= \sqrt 2\end{aligned}Gruß Werner

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Hallo,

auf die Idee mit Q' muss man erst einmal kommen.

:-)

auf die Idee mit Q' muss man erst einmal kommen.

Ja - wobei mir ein anderer Punkt, der nicht auf dem Bild zu sehen ist, viel mehr Kopfzerbrechen bereitet hat. Du findest ihn als Schnittpunkt der Gerade durch PQPQ mit der Geraden durch ACAC.

Für die Aufgabe ist er nicht notwendig, aber man benötigt ihn, um das Gebilde zu konstruieren ;-)

noch ein Hinweis: die rot gestrichelte Kurve ist eine Parabel mit Brennpunkt AA und Leitgerade durch CQCQ' (blau gestrichelt). Diese Parabel ist die Ortskurve für alle Positionen von MM. Hat man das 'gesehen', dann fällt einem QQ' in den Schoß.

Für diesen Kommentar müsste ich dir einen zweiten "Daumen hoch" geben.

:-)

.. umso länger man auf so eine Aufgabe drauf schaut, desto mehr sieht man ;-)

blob.png

Es ist nicht nur QP=t|Q'P|=t, sondern die Gerade durch QQ' und PP ist auch gemeinsame Tangente beider Kreise.

Das Viereck QAQPQ'AQP ist ein symmetrisches Trapez, bei dem die Diagonalen senkrecht zu den Schenkeln stehen. Also irgendwie ein Viereck auf einem Level mit Rechteck und Raute.

PP liegt auf dem Umkreis des Rechtecks AQQCAQQ'C.

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Da über den Radius r nichts gesagt wird und ich davon ausgehen muss, dass st \frac{s}{t} invariant ist, berechne ich einfach einen Spezialfall:

blob.png

Hier ist r=t und s=r·√2, also st \frac{s}{t} =2 \sqrt{2} .

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