Еntwicklungspunkt аngеbеn, Konvеrgеnzrаdius und -bеrеich bеstimmеn

Question

Hаllo,

kаnn mir bittе jеmаnd hеlfen, die Aufgabе zu lösеn?

Gеgеben sind 2 Potеnzrеihеn:

a) $\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}} x^{k}$       und       b) $\sum \limits_{n=0}^{\infty} 2^{n}(x-1)^{n}$

Wie gеbе iсh für diе 2 Potеnzreihen dеn Еntwicklungspunkt аn? Und wiе bеstimme iсh dеn Konvеrgеnzradius und dеn Konvеrgеnzbеrеiсh?

Vielen Dank vorab für Ihre Hilfe!

Answer 1

Hallo

Potenzreihen mit (x-x_0)ⁿ haben x_0 als Entwicklungspunkt, deine Reihen also a) x_0=0, b)x_0=1

für den Konvergenzradius  Wurzel oder Quotientenformel.  bei (x-1)=z ist das der Konvegenzradius  r für z m der für x bestimmt sich daraus  mit |x-1|<r

Gruß lul

Answer 2

Aloha :)

$$f_a(x)=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2}x^k=\sum\limits_{k=1}^\infty a_k\cdot(x-0)^k\quad;\quad a_k\coloneqq\frac{1}{k^2}$$Der Entwicklungspunkt ist $x_0=0$. Der Konvergenzradius $r$ ist der Grenzwert von:$$\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|=\frac{(k+1)^2}{k^2}=\left(1+\frac{1}{k}\right)^2\to1\eqqcolon r$$Der Konvergenzradius ist also $r=1$ und der Konvergenzbereich ist $|x|<1$.

Streng genommen musst du noch die Ränder des Konvergenzbereichs explizit prüfen, also die Fälle $x=\pm1$. Die Potenzreihe $f_a(x)$ konvergiert nämlich auch für beide Ränder.

$$f_b(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty2^n(x-1)^n=\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\cdot(x-1)^n\quad;\quad a_n\coloneqq2^n$$Der Entwicklungspunkt ist $x_0=1$. Der Konvergenzradius $r$ ist der Grenzwert von:$$\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\frac{2^n}{2^{n+1}}=\frac{1}{2}\eqqcolon r$$Der Konvergenzradius ist also $r=\frac{1}{2}$ und der Konvergenzbereich ist:$$|x-1|<r\implies|x-1|<\frac{1}{2}\implies-\frac{1}{2}<x-1<\frac{1}{2}\implies\frac{1}{2}<x<\frac{3}{2}$$Hier konvergiert die Potenzreihe nicht an den Rändern des Konvergenzbereichs.