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Bekomme die folgende Aufgabe einfach nicht gelöst:

Bildschirmfoto 2021-06-14 um 11.09.09.png



Wie rechnet man sowas? Wie geht man da vor? Ich komme nicht dahinter..

Laut Lösung soll die Zahl 0 rauskommen...

von

Mit Wolframalpha kommt heraus:


\( -\dfrac{4 a^{8} b^{6}}{a^{8}-b^{8}} \)

Dann noch quadrieren.

\( \dfrac{16 a^{16} b^{12}}{\left(a^{8}-b^{8}\right)^{2}} \)


:-)

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Aloha :)

Ein Faktor springt über den Bruchstrich, indem sein Exponent das Vorzeichen ändert:$$\phantom{=}\left[\left(\frac{a^{-2}+b^{-2}}{a^2b^2}\right)^{-1}-\left(\frac{b^4+a^4}{2a^4b^6}\right)^{-1}+\left(\frac{a^{-2}-b^{-2}}{a^2b^2}\right)^{-1}\right]^2$$$$=\left[\left(\frac{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}{a^2b^2}\right)^{-1}-\left(\frac{b^4+a^4}{2a^4b^6}\right)^{-1}+\left(\frac{\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}}{a^2b^2}\right)^{-1}\right]^2$$

Wir erweitern den ersten und den letzten Bruch mit \(a^2b^2\):$$=\left[\left(\frac{a^2b^2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)}{a^2b^2\cdot a^2b^2}\right)^{-1}-\left(\frac{b^4+a^4}{2a^4b^6}\right)^{-1}+\left(\frac{a^2b^2\left(\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}\right)}{a^2b^2\cdot a^2b^2}\right)^{-1}\right]^2$$$$=\left[\left(\frac{b^2+a^2}{a^4b^4}\right)^{-1}-\left(\frac{b^4+a^4}{2a^4b^6}\right)^{-1}+\left(\frac{b^2-a^2}{a^4b^4}\right)^{-1}\right]^2$$

Wir nehmen die Kehrwerte, um die negativen Exponenten loszuwerden:$$=\left[\frac{a^4b^4}{b^2+a^2}-\frac{2a^4b^6}{b^4+a^4}+\frac{a^4b^4}{b^2-a^2}\right]^2$$

Wir erweitern den ersten und den letzten Bruch so, dass wir im Nenner die dritte binomische Formel anwenden können:$$=\left[\frac{(b^2-a^2)a^4b^4}{(b^2-a^2)(b^2+a^2)}-\frac{2a^4b^6}{b^4+a^4}+\frac{(b^2+a^2)a^4b^4}{(b^2+a^2)(b^2-a^2)}\right]^2$$$$=\left[\frac{a^4b^6-a^6b^4}{b^4-a^4}-\frac{2a^4b^6}{b^4+a^4}+\frac{a^4b^6+a^6b^4}{b^4-a^4}\right]^2$$$$=\left[\frac{(a^4b^6-a^6b^4)+(a^4b^6+a^6b^4)}{b^4-a^4}-\frac{2a^4b^6}{b^4+a^4}\right]^2=\left[\frac{2a^4b^6}{b^4-a^4}-\frac{2a^4b^6}{b^4+a^4}\right]^2$$

Wir erweitern nochmal beide Brüche so, dass wir im Nenner wieder die dritte binomische Formel anwenden können:$$=\left[\frac{(b^4+a^4)2a^4b^6}{(b^4+a^4)(b^4-a^4)}-\frac{(b^4-a^4)2a^4b^6}{(b^4-a^4)(b^4+a^4)}\right]^2$$$$=\left[\frac{2a^4b^{10}+2a^8b^6}{b^8-a^8}-\frac{2a^4b^{10}-2a^8b^6}{b^8-a^8}\right]^2=\left[\frac{(2a^4b^{10}+2a^8b^6)-(2a^4b^{10}-2a^8b^6)}{b^8-a^8}\right]^2$$$$=\left[\frac{4a^8b^6}{b^8-a^8}\right]^2=\frac{16a^{16}b^{12}}{(b^8-a^8)^2}$$

von 79 k 🚀

Toll, Tschaka! Klar und bestens nachvollziehbar! :)

Sehr gut! Danke für den ausführlichen Weg! :)


In meinen Lösungen steht aber, dass 0 heraus kommt... wie das ist möglich? Geogebra sagt das auch...

Dann ist die Lösung falsch und Geogebra rechnet falsch.

Oder in der Aufgabenstellung ist ein Fehler...

Es kommt 0 heraus, wenn im mittleren Term der Zähler b^4-a^4 ist.

0 Daumen

Beseitige zuerst die negativen Exponenten, dann steht in der großen Klammer:

\( \frac{a^2b^2}{1/a^2+1/b^2} \)-\( \frac{2a^4b^6}{b^4+a^4} \)+\( \frac{a^2b^2}{1/a^2-1/b^2} \).

Bringe auf den Hauptnenner und vereinfache.

Quadriere erst am Schluss.

von 103 k 🚀

Danke, nur wie komme ich auf den Hauptnenner? Das erschließt sich mir in dem konkreten Fall noch nicht...

Hauptnenner: Produkt aller Nenner inklusive Anwendung der 3. binomischen Formel:

(\( \frac{1}{a^2} \)-\( \frac{1}{b^2} \))·(\( \frac{1}{a^2} \)+\( \frac{1}{b^2} \))·(a4+b4)=\( \frac{a^8-b^8}{a^4·b^4} \).

Das wäre dann quasi der Nenner in jedem Term?

Das ist der Hauptnenner. Auf diesen muss man jeden Summanden erweitern.

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