Komplizierte Potenzaufgabe lösen?

Question

Bekomme die folgende Aufgabe einfach nicht gelöst:

Wie rechnet man sowas? Wie geht man da vor? Ich komme nicht dahinter..

Laut Lösung soll die Zahl 0 rauskommen...

Comments

Mit Wolframalpha kommt heraus:

$-\dfrac{4 a^{8} b^{6}}{a^{8}-b^{8}}$

Dann noch quadrieren.

$\dfrac{16 a^{16} b^{12}}{\left(a^{8}-b^{8}\right)^{2}}$

:-)

Answer 1

Aloha :)

Ein Faktor springt über den Bruchstrich, indem sein Exponent das Vorzeichen ändert:$$\phantom{=}\left[\left(\frac{a^{-2}+b^{-2}}{a^2b^2}\right)^{-1}-\left(\frac{b^4+a^4}{2a^4b^6}\right)^{-1}+\left(\frac{a^{-2}-b^{-2}}{a^2b^2}\right)^{-1}\right]^2$$$$=\left[\left(\frac{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}{a^2b^2}\right)^{-1}-\left(\frac{b^4+a^4}{2a^4b^6}\right)^{-1}+\left(\frac{\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}}{a^2b^2}\right)^{-1}\right]^2$$

Wir erweitern den ersten und den letzten Bruch mit $a^2b^2$:$$=\left[\left(\frac{a^2b^2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)}{a^2b^2\cdot a^2b^2}\right)^{-1}-\left(\frac{b^4+a^4}{2a^4b^6}\right)^{-1}+\left(\frac{a^2b^2\left(\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}\right)}{a^2b^2\cdot a^2b^2}\right)^{-1}\right]^2$$$$=\left[\left(\frac{b^2+a^2}{a^4b^4}\right)^{-1}-\left(\frac{b^4+a^4}{2a^4b^6}\right)^{-1}+\left(\frac{b^2-a^2}{a^4b^4}\right)^{-1}\right]^2$$

Wir nehmen die Kehrwerte, um die negativen Exponenten loszuwerden:$$=\left[\frac{a^4b^4}{b^2+a^2}-\frac{2a^4b^6}{b^4+a^4}+\frac{a^4b^4}{b^2-a^2}\right]^2$$

Wir erweitern den ersten und den letzten Bruch so, dass wir im Nenner die dritte binomische Formel anwenden können:$$=\left[\frac{(b^2-a^2)a^4b^4}{(b^2-a^2)(b^2+a^2)}-\frac{2a^4b^6}{b^4+a^4}+\frac{(b^2+a^2)a^4b^4}{(b^2+a^2)(b^2-a^2)}\right]^2$$$$=\left[\frac{a^4b^6-a^6b^4}{b^4-a^4}-\frac{2a^4b^6}{b^4+a^4}+\frac{a^4b^6+a^6b^4}{b^4-a^4}\right]^2$$$$=\left[\frac{(a^4b^6-a^6b^4)+(a^4b^6+a^6b^4)}{b^4-a^4}-\frac{2a^4b^6}{b^4+a^4}\right]^2=\left[\frac{2a^4b^6}{b^4-a^4}-\frac{2a^4b^6}{b^4+a^4}\right]^2$$

Wir erweitern nochmal beide Brüche so, dass wir im Nenner wieder die dritte binomische Formel anwenden können:$$=\left[\frac{(b^4+a^4)2a^4b^6}{(b^4+a^4)(b^4-a^4)}-\frac{(b^4-a^4)2a^4b^6}{(b^4-a^4)(b^4+a^4)}\right]^2$$$$=\left[\frac{2a^4b^{10}+2a^8b^6}{b^8-a^8}-\frac{2a^4b^{10}-2a^8b^6}{b^8-a^8}\right]^2=\left[\frac{(2a^4b^{10}+2a^8b^6)-(2a^4b^{10}-2a^8b^6)}{b^8-a^8}\right]^2$$$$=\left[\frac{4a^8b^6}{b^8-a^8}\right]^2=\frac{16a^{16}b^{12}}{(b^8-a^8)^2}$$

Comments

Toll, Tschaka! Klar und bestens nachvollziehbar! :)

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Sehr gut! Danke für den ausführlichen Weg! :)

In meinen Lösungen steht aber, dass 0 heraus kommt... wie das ist möglich? Geogebra sagt das auch...

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Dann ist die Lösung falsch und Geogebra rechnet falsch.

Oder in der Aufgabenstellung ist ein Fehler...

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Es kommt 0 heraus, wenn im mittleren Term der Zähler b⁴-a⁴ ist.

Answer 2

Beseitige zuerst die negativen Exponenten, dann steht in der großen Klammer:

$\frac{a^2b^2}{1/a^2+1/b^2}$-$\frac{2a^4b^6}{b^4+a^4}$+$\frac{a^2b^2}{1/a^2-1/b^2}$.

Bringe auf den Hauptnenner und vereinfache.

Quadriere erst am Schluss.

Comments

Danke, nur wie komme ich auf den Hauptnenner? Das erschließt sich mir in dem konkreten Fall noch nicht...

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Hauptnenner: Produkt aller Nenner inklusive Anwendung der 3. binomischen Formel:

($\frac{1}{a^2}$-$\frac{1}{b^2}$)·($\frac{1}{a^2}$+$\frac{1}{b^2}$)·(a⁴+b⁴)=$\frac{a^8-b^8}{a^4·b^4}$.

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Das wäre dann quasi der Nenner in jedem Term?

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Das ist der Hauptnenner. Auf diesen muss man jeden Summanden erweitern.