Getrennte Veränderliche, Differentialgleichungen, Anfangswertproblem

Question

Hallochen!

Aufgabe:

Lösen Sie die Differentialgleichungen:

1. y′(t)  =  3t²·e^-y(t)

2. y′(t)  =$\frac{t·y(t)}{ t+ 1}$

Lösen Sie das Anfangswertproblem:

3. y′(t) =$\frac{y(t)}{t(t+ 1)}$ , y(1) = 3

Freue mich auch jeden Tipp:)

Answer 1

Hallo,

3. $\mathrm{y}^{\prime}(\mathrm{t})=\frac{y(t)}{t(t+1)}, \mathrm{y}(1)=3$

dy/dt= $\frac{y}{t(t+1)}$

∫dy/y =$\frac{y}{t(t+1)}$ *dt --->Partialbruchzerlegung

ln|y|=∫((1/t)  - (1/(t+1))) dt

ln|y| =ln|t| -ln|t+1| +C

ln|y| =ln| t/(t+1)|+C

y= C₁ * (t/(t+1))

AWB:y(1)=3

3= C₁ * (1/(1+1)) ---->C₁=6

y=  6t/(t+1)

Answer 2

1. dy / dt = 3t² *e^(-y)

==>  e^y * dy =  3t² * dt  Integrieren

==>   e^y = t³ + C

==>     y =ln( t³ + C) =  3ln(t) * K

2. dy/dt =   ty / ( t+1)

==>   1/y * dy = t/(t+1) * dt =  ( 1 - 1/(t+1) ) * dt  Integrieren

ln(y) = t - ln(t+1) + C

y = e^t /(t+1)  * K