Berechnung der Koordinaten eines Schwerpunkts, des Schwerpunkts selbst und der Masse M.

Question

Aufgabe:

Wir betrachten in den Fragen auf dieser Seite einen Kegelstumpf mit inhomogener Dichteverteilung in dimensionsbehafteten Größen (SI-Einheiten). Die Grundfläche des Kegelstumpfs hat den Radius r1=0,028 m und liegt in der xy-Ebene. Die obere Fläche liegt in einer Höhe h=0,025 m über der Grundfläche und hat einen Radius r2=0,01 m.$$\rho(\vec{r})=1,4\frac{kg}{cm^3}+1,8x\frac{kg}{cm^4}+0,8z^2\frac{kg}{cm^5}$$
Berechnen Sie die Koordinaten des Schwerpunkts, den Schwerpunkt selbst und die Masse M.

Problem/Ansatz:

Zur Massenberechnung:

Soweit ich weiß ist die Masse ja grundsätzlich durch $$M=\int \limits_{V}\rho dV$$ gegeben. Weil es ein Kegelstumpf ist, habe ich die oben angegebene Massendichte Funktion in Zylinderkoordinaten umgerechnet. $$\rho(\vec{r})=1,4\frac{kg}{cm^3}+1,8rcos(\phi)\frac{kg}{cm^4}+0,8h^2\frac{kg}{cm^5}$$ Eine Gerade entlang des Mantels wäre: $$r_1+\frac{r_2-r_1}{h}$$Mein Ansatz wäre daher: $$\int \limits_{0}^{2\pi}(\int \limits_{0}^{h}(\int \limits_{0}^{r_1+\frac{r_2-r_1}{h}z}\rho(\vec{r})rdr)dz)d\phi$$ Wenn ich die oben genannten Werte einsetzte, kriege ich allerdings ein falsches Ergebnis raus.

Zu dem Schwerpunkt(und seinen Koordinaten):

Die Koordinaten des Richtungsvektors sind ja glaube ich durch: $$\begin{pmatrix} rcos\phi\\rsin\phi\\z \end{pmatrix}$$ gegeben. Um dann den Schwerpunkt zu berechnen muss ich den Richtungsvektor ja nur noch in die Gleichung: $$\vec{R}_S=\frac{1}{M}\int \limits_{V} \vec{r}\rho dV, \enspace dV= rdrd\phi dz$$einsetzten. Jedoch stimmt auch hier mein Ergebnis nicht. Könnte mir hierbei jemand bitte erklären wo mein Ansätze scheitern?

Mfg

Answer 1

Hallo,

  $\rho(\vec{r})=1,4\frac{kg}{cm^3}+1,8x\frac{kg}{cm^4}+0,8z^2\frac{kg}{cm^5}$

zusammen mit $r_1=2,8\,\text{cm}$ bei $z=0$ gibt das an der Koordinate $(-2,8\,\text{cm}|\, 0|\, 0)$ eine spezifische Dichte von $$\rho(-2,8\,\text{cm}|\, 0|\, 0)=1,4\frac{kg}{cm^3}+1,8\frac{kg}{cm^4} \cdot (-2,8\,\text{cm})+0 = -3,64 \frac{\text{kg}}{\text{cm}^3}$$IMHO physikalisch ziemlich ungewöhnlich! Bist Du sicher, dass hinter der $1,8$ ein $x$ und kein $r$ steht?

Dann wäre das schon die Erklärung. Ansonsten schreibe doch bitte Dein Ergebnis für die Masse $M$.

Gruß Werner

Comments

Hallo, danke für die Antwort!

Das Beispiel entspricht 1 zu 1 der Angabe. Ich glaube das Beispiel soll so oder so nur das Prinzip der Rechnung veranschaulichen und nicht einen realen oder realistischen beschreiben.

Wenn ich alle einsetzte kriege ich ungefähr 30,279kg raus.

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Hallo T,

Du hast bei Deiner Umrechnungn von rho auf Zylinderkoordinaten h² geschrieben statt z². Hast du auch so gerechnet?

Gruß Mathhilf

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Muss ich in dem Fall dann den Zahlenwert einsetzten, oder es als Variable nehmen?

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Muss ich in dem Fall dann den Zahlenwert einsetzten, oder es als Variable nehmen?

Besser Du bleibst bei $\rho(\phi,r,z)$. $z$ ist die Variable und $h$ ist eine Konstante, also die Höhe des Kegels. Und die Dichtefunktion ist $$\rho(\phi,r,z)=1,4\frac{\text{kg}}{\text{cm}^3}+1,8r\cos(\phi)\frac{\text{kg}}{\text{cm}^4}+0,8z^2\frac{\text{kg}}{\text{cm}^5}$$

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Ich habe es jetzt auch mit dieser Formel probiert, allerdings komme ich leider immer noch nicht auf das richtige Ergebnis. Vielleicht setze ich die Werte für h, r₁ und r₂ in den falschen Einheiten ein? Ich habe nämlich alle auf cm umgeformt. Könnte womöglich das der Fehler sein?

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Ich habe nämlich alle auf cm umgeformt. Könnte womöglich das der Fehler sein?

Nein - im Gegenteil!

allerdings komme ich leider immer noch nicht auf das richtige Ergebnis.

Welches ist denn das (vermeidlich) richtige Ergebnis? Wolfram Alpha rechnet

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Ja, genau das ist das richtige Ergebnis. Ich denke, ich habe bei der Eingabe in Wolfram alpha einen Fehler gemacht.

Mfg