Wie sieht die Lösungsmenge aus?

Question

1	2	3		6
0	1	2		3
0	0	0		0

Aufgabe:

Gegeben sind folgende lineare Gleichungssysteme nach Anwendung des Gauß Algorithmus. Wie sieht die Lösungsmenge aus?

Problem/Ansatz:

was soll ich da genau machen ?

1x+1y+0z=2

2x+2y+0z=  weiter komme ich nciht

?so?

Comments

gelöscht :).

Answer 1

Aloha :)

Du kannst das Gleichungssystem noch ein klein wenig umformen. Ziel ist es, möglichst viele Spalten zu bekommen, die aus lauter Nullen und genau einer $1$ bestehen. Die erste Spalte erfüllt diese Forderung schon. Die zweite spalte kriegen wir auch entsprechend umgeformt:$$\begin{array}{rrr|r|l}x & y & z & = &\text{Aktion}\\\hline1 & 2 & 3 & 6 & -2\cdot\text{Zeile 2}\\0 & 1 & 2 & 3 &\\0 & 0 & 0 & 0 &\\\hline1 & 0 & -1 & 0 & \\0 & 1 & 2 & 3 &\\0 & 0 & 0 & 0 &\end{array}$$Durch diese Umformung können wir nun $x$ und $y$ durch $z$ ausdrücken. Dazu lesen wir die beiden Gleichungen aus dem System ab:$$x-z=0\quad;\quad y+2z=3$$und stellen sie nach der Variablen mit der Einser-Spalte um:$$x=z\quad;\quad y=3-2z$$Damit kannst du nun alle Lösungen des Gleichungssystems angeben:

$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}z\\3-2z\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$$Die Lösungen liegen also alle auf einer Geraden.

Answer 2

Falls gemeint ist:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 &2\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$·$\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}$=$\begin{pmatrix} 6\\3\\0 \end{pmatrix}$

Lautet das Gleichungssystem

x+2y+3z=6

    y+2z=3

          0=0

Dies System hat immer dann eine Lösung, wenn x=z gilt.

Comments

Das System ist unterbestimmt, also könnte man eine Variable frei wählen,oder?

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Solange wir nicht wissen, was der Fragesteller mit seiner Tabelle meint, bleibt meine Antwort eine Vermutung.