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Ein zusammengesetzter Körper besteht aus einem Zylinder und einem Kegel.

Es gilt:

VK = 233 cm3 (Volumen des Kegels)

hK = 8,5 cm (Höhe des Kegels)

Oges = 344 cm2 (Oberfläche des zusammengesetzten Körpers)

Berechne die Höhe des Zuylinders.

 

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Vom Duplikat:

Titel: Körper besteht aus einem Zylinder und einem Kegel

Stichworte: körper,zylinder,kegel

Aufgabe:

Ein zusammengesetzter Körper besteht aus einem Zylinder und einem Kegel es gilt

Volumen von Kegel 223

Höhe von Kegel 8,5

Oberfläche gesamt 344

Berechnen Sie die Höhe des Zylinders

Wie genau zusammengesetzt?

Sieht der Körper ungefähr so aus https://www.mathelounge.de/519849/zusammengesetzte-korper-stimmen-meine-berechnungen ?

Habe deine Frage gefunden: https://www.mathelounge.de/85750/zylinder-mit-aufgesetztem-kegel-berechne-die-hohe-zylinders

Dort gibt es schon eine Antwort.

1 Antwort

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Der Oberflächeninhalt Oges des gezeigten Körpers setzt sich zusammen aus:

- dem Mantelflächeninhalt MK des Kegels,
- dem Mantelflächeninhalt MZ des Zylinders und
- dem Flächeninhalt MGZ des Grundflächenkreises des Zylinders,

Der Oberflächeninhalt Oges soll 344 cm 2 betragen, also:

Oges = MK+ MZ + MGZ = 344 cm ²

Es gilt:

MK = π * r * s
MZ = 2 * π * r * hZ
MGZ = π * r 2

wobei
r die Länge des Radius des Grundflächenkreises sowohl des Kegels als auch des Zylinders, 
s die Länge der Mantellinie (Strecke von der Spitze des Kegels bis zum Rand seiner Grundfläche) und
hZ die Höhe des Zylinders
ist.

Also:

Oges = π * r * s + 2 * π * r * hZ + π * r 2 = 344 cm ²

Auflösen nach der gesuchten Höhe hZ des Zylinders ergibt:

hZ = ( 344 - π * r * s - π * r 2 ) / ( 2 * π * r )

Zur Berechnung müssen nun noch der Radius r und die Mantellinienlänge s bestimmt werden. Dazu kann man die übrigen Angaben in der Aufgabenstellung benutzen:

Radius:

Das Volumen VK eines Kegels ist:

VK = ( 1 / 3 ) * G * hK = ( 1 / 3 ) * π * r 2 * hK

Auflösen nach dem Radius r ergibt:

r = √ ( 3 * VK / ( π * hK ) )

Gegeben sind: VK = 233 cm3 sowie hK = 8,5 cm , also:

r = √ ( 3 * 233 / ( π * 8,5 ) ) = 5,1 cm (gerundet)

Mantellinie:

Die Mantellinie s ist Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Katheten der Radius r und die Höhe hK des Kegels sind. Daher gilt nach Pythagoras:

s2 = r 2 + hk2
<=> s = √ ( r 2 + hK2 )

Bekannte Werte einsetzen:

s = √ ( 5,1 2 + 8,5 2 ) = 9,9 cm (gerundet)

 

Damit kann man nun die oben fett gesetzte Bestimmungsgleichung für die Höhe hZ des Zylinders ausrechnen:

hZ = ( 344 - π * r * s - π * r 2 ) / ( 2 * π * r )

= ( 344 - π * 5,1 * 9,9 - π * 5,1 2 ) / ( 2 * π * 5,1 )

= 3,24 cm (gerundet)

Avatar von 32 k

Richtig gut erklärt nur wie haben sie es auf ihren Taschenrechner getippt weil ich habe es schon mehrmals versucht und bei mir kommen falsche Ergebnisse raus

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