Zylinder mit aufgesetztem Kegel. Berechne die Höhe des Zylinders.

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Ein zusammengesetzter Körper besteht aus einem Zylinder und einem Kegel.

Es gilt:

VK = 233 cm3 (Volumen des Kegels)

hK = 8,5 cm (Höhe des Kegels)

Oges = 344 cm2 (Oberfläche des zusammengesetzten Körpers)

Berechne die Höhe des Zuylinders.

 

Gefragt 24 Jan 2014 von Frank

1 Antwort

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Der Oberflächeninhalt Oges des gezeigten Körpers setzt sich zusammen aus:

- dem Mantelflächeninhalt MK des Kegels,
- dem Mantelflächeninhalt MZ des Zylinders und
- dem Flächeninhalt MGZ des Grundflächenkreises des Zylinders,

Der Oberflächeninhalt Oges soll 344 cm 2 betragen, also:

Oges = MK+ MZ + MGZ = 344 cm ²

Es gilt:

MK = π * r * s
MZ = 2 * π * r * hZ
MGZ = π * r 2

wobei
r die Länge des Radius des Grundflächenkreises sowohl des Kegels als auch des Zylinders, 
s die Länge der Mantellinie (Strecke von der Spitze des Kegels bis zum Rand seiner Grundfläche) und
hZ die Höhe des Zylinders
ist.

Also:

Oges = π * r * s + 2 * π * r * hZ + π * r 2 = 344 cm ²

Auflösen nach der gesuchten Höhe hZ des Zylinders ergibt:

hZ = ( 344 - π * r * s - π * r 2 ) / ( 2 * π * r )

Zur Berechnung müssen nun noch der Radius r und die Mantellinienlänge s bestimmt werden. Dazu kann man die übrigen Angaben in der Aufgabenstellung benutzen:

Radius:

Das Volumen VK eines Kegels ist:

VK = ( 1 / 3 ) * G * hK = ( 1 / 3 ) * π * r 2 * hK

Auflösen nach dem Radius r ergibt:

r = √ ( 3 * VK / ( π * hK ) )

Gegeben sind: VK = 233 cm3 sowie hK = 8,5 cm , also:

r = √ ( 3 * 233 / ( π * 8,5 ) ) = 5,1 cm (gerundet)

Mantellinie:

Die Mantellinie s ist Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Katheten der Radius r und die Höhe hK des Kegels sind. Daher gilt nach Pythagoras:

s2 = r 2 + hk2
<=> s = √ ( r 2 + hK2 )

Bekannte Werte einsetzen:

s = √ ( 5,1 2 + 8,5 2 ) = 9,9 cm (gerundet)

 

Damit kann man nun die oben fett gesetzte Bestimmungsgleichung für die Höhe hZ des Zylinders ausrechnen:

hZ = ( 344 - π * r * s - π * r 2 ) / ( 2 * π * r )

= ( 344 - π * 5,1 * 9,9 - π * 5,1 2 ) / ( 2 * π * 5,1 )

= 3,24 cm (gerundet)

Beantwortet 25 Jan 2014 von JotEs Experte XXX

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