Wie löse ich folgende Aufgabe!

Question

Aufgabe:

Sie wollen Eierbecher herstellen und vorher den Materialaufwand abschätzen. Die Eierbecher sollen massiv sein. Folgendes gilt:

Das Volumen ist rotationssymmetrisch.

Bei einem senkrechten Schnitt erscheint die äußere Fläche parabelförmig und nach oben offen. Der Schnitt wird durch die Formel z(r)= 4r^2  beschrieben.

Die innere Fläche ist ebenfalls parabelförmig und nach oben offen, ein senkrechter Schnitt wird durch die Formel z(r)=2r^2+2 beschrieben.

Skizzieren Sie den Eierbecher und berechnen Sie das Volumen. Achtung: zum Volumen gehört nicht der Bereich, in dem sich später des Ei befindet!

Problem/Ansatz:

Answer 1

Ich wähle x statt r:

Zeichnung:

Rotationsvolumen um die \( Y \) -Achse von \( y=4 x^{2} \)
Umkehrfunktion:
\( x=\sqrt{\frac{y}{4}} \)
Begrenzung: Schnitt von \( y=4 x^{2} \) mit \( y=2 x^{2}+2 \)
\( 2 x^{2}+2=4 x^{2} \)
\( x=1 \rightarrow y=4 \)
\( V_{1}=\pi \cdot \int \limits_{0}^{4}\left(\sqrt{\frac{y}{4}}\right)^{2} \cdot d y=\pi \cdot\left[\frac{y}{4}\right]_{0}^{4}=\pi \)
Nun die Berechnung für \( f(x)=2 x^{2}+2 \rightarrow \ldots \)

Hierzu stelle dir vor, dass f(x)=2x^2+2 um 2 Einheiten nach unten versetzt wird p(x)=2*x^2

Dann das Intervall von y=0 bis y=2

Comments

Vielen dank, aber bei mir fürV1 hatte ich 2π, kann das sein!

können Sie mir bitte etwa kurz erklären wie ich die f(x)=2x^2+2 berechnen!

danke nochmal

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a) Ich kann keinen Fehler entdecken; aber schreibe mir mal deinen Lösungsweg auf.

Bei V_2 soll ja das Volumen berechnet werden, wo das Ei hingehört.

Zur besseren Vorstellung: Wenn du f(x)=2x^2+2 um 2Einheiten nach unten verschiebst, hast du ja y=2x^2 (Zeichnung)

x^2=\( \frac{y}{2} \)    → x=(\( \frac{y}{2} \))^0,5

V_2=π*\( \int\limits_{0}^{2} \)((\( \frac{y}{2} \))^0,5)^2*dx=...

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bei V1 hab ich 2Π und zwar am ende hat man: Π.4^2/8-0^2/8

das macht dann Π.16/8-0 =2Π!

und bei V2 hab nur Π raus bekommen ist das richtig?

vielen dank für Ihre Zeit

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Ich frag mich wie die Eierbecher stehen sollen. Wie ich das sehe, ist das wohl eine ziemliche Fehlplanung.

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Du hast recht: V_1=2π  Man kann gar nicht genug aufpassen!

(Ich habe doch nach dem Quadrieren der Wurzel die Integration vergessen. Darf eigentlich nicht passieren)

Berechnung mit der um 2 Einheiten nach unten verschobenen Parabel:

f(x)=2x^2

Text erkannt:

\( y=2 x^{2} \)
\( x=\sqrt{\frac{y}{2}} \)
$$ V_{2}=\pi \cdot \int \limits_{0}^{2}\left(\sqrt{\frac{y}{2}}\right)^{2} \cdot d y=\pi \cdot \int \limits_{0}^{2} \frac{y}{2} \cdot d y=\pi \cdot\left[\frac{y^{2}}{4}\right]_{0}^{2}=\pi $$
Gesamtvolumen: \( V=V_{1}-V_{2}=2 \pi-\pi=\pi \)

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alles gut! kann passieren,

du hast es schon gut erklärt, vielen dank