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Wie erkenne ich, dass es sich bei folgender Teilmenge der komplexen Zahlen um einen Kreis um 1/2 mit Radius 1/2 ohne Null handelt?

Re(1z)=1,z0Re(\frac{1}{z})=1, z \neq0


Nach Umformen komme ich auf:

xx2+y2=1\frac{x}{x^2+y^2}=1


Weiß jemand wie ich dann weitermachen soll?

Danke für die Hilfe.

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Hallo Chris,

Du kannst die Gleichung mit x2+y2x^2+y^2 multiplizieren und dann noch etwas umformenxx2+y2=1(x2+y2)x=x2+y2x0=x2x+y20=x2x+0,52+y20,52+0,520,52=(x0,5)2+y2\begin{aligned} \frac x{x^2+y^2} &= 1 &&|\, \cdot (x^2+y^2)\\ x &= x^2 + y^2 &&|\, -x\\ 0 &=x^2 - x + y^2\\ 0 &= x^2 - x + 0,5^2 + y^2 - 0,5^2&&|\, +0,5^2 \\ 0,5^2 &= (x-0,5)^2 + y^2\end{aligned}und so erhältst Du die Kreisgleichung für einen Kreis mit Mittelpunkt bei (0,50)(0,5|\, 0) und Radius 0,50,5.

Versuche Dir das mal an Hand der Geometrie zu veranschaulichen:

blob.png

Der Realteil von 1/z1/z ist =1=1 und damit liegt 1/z1/z auf der blauen Senkrechten. Invertiert man 1/z1/z zu zz, so kommt man zum roten Kreis.

Nach dem Sekanten-Tangenten-Satz istPOPZ=PB2PO(POZO)=PO21POZO=1ZO=1PO=11z=z\begin{aligned}|PO| \cdot |PZ'| &= |PB|^2 \\ |PO| \cdot(|PO| - |Z'O|) &= |PO|^2 - 1 \\ |PO|\cdot |Z'O| &= 1 \\ |Z'O| &= \frac1{|PO|}= \frac 1{\left|\frac 1z\right|} = |z|\end{aligned}Zusammen mIt arg(1/z)=arg(z)\arg(1/z) =-\arg(z) kommt man dann genau bei zz (roter Pfeil) heraus.

Gruß Werner

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Antwort um die geometrische Anschauung erweitert.

was mir noch einfiel: Die Abildung z1/zz \to 1/z entspricht geometrisch einer Spiegelung am Einheitskreis (schwarz s.u.) verknüpft mit einer Spiegelung an der reellen Achse.

Folglich wird eine senkrechte Gerade durch den Punkt B(10)B(1|\,0) auf einen Kreis abgebildet, dessen Durchmesser die Strecke OBOB ist - und umgekehrt.

https://jsfiddle.net/WernerSalomon/5soakfq2/22/

Verschiebe den Punkt ZZ mit der Maus. Solange er sich auf dem roten Kreis befindet, ist seine Abbildung 1/z1/z auf der blauen Senkrechten.

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Hallo,

xx2+y2=1x2+y2x=0\frac{x}{x^2+y^2}=1 \Leftrightarrow x^2+y^2-x=0

Du kannst auf den rechten Ausdruck nun die quadratische Ergänzung anwenden auf die xx-Terme: x2x=(x12)214x^2-x=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}.

Dann gilt:(x12)2+y2=14\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+y^2=\frac{1}{4} Also ein Kreis mit Mittelpunkt M(0.50)M(0.5|0) und Radius r=12r=\frac{1}{2}.

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Kreis um 1/2 mit Radius 1/2

Der hat die Gleichung

        (x12)2+y2=14\left(x-\frac{1}{2}\right)^2 + y^2 = \frac{1}{4}.

xx2+y2=1\frac{x}{x^2+y^2}=1

Forme um so dass du obige Glecihung bekommst.

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