Lösung des Anfangswertproblems, keine Lösung beim Gleichungssystem bekommen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems \( \vec{u} \)' = A*\( \vec{u} \) mit u(1) = (2,0,1)^T, wobei A die Matrix

A = \( \begin{pmatrix} 2 & 0 & \sqrt{5} \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Ich habe die Eigenwerte der Matrix bestimmt und bekomme λ1 = 5, λ2 = 2, heraus. Für den Eigenvektor1 bekomme ich \( \begin{pmatrix} 0\\x2\\0 \end{pmatrix} \) heraus und für den zweiten \( \begin{pmatrix} x1\\0\\0 \end{pmatrix} \) . Anschließend multipliziere ich \( \begin{pmatrix} 0 & x1 \\ x2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \)*\( \begin{pmatrix} (e^5)^x\\(e^2)^x\end{pmatrix} \) und erhalte \( \begin{pmatrix} x1*(e^2)^x\\x2*(e^5)^x\\0 \end{pmatrix} \). aus u(1) erhalte ich \( \begin{pmatrix} 2\\0\\1 \end{pmatrix} \), wegen der transponierten. Wenn ich allerdings das Gleichungssystem aufstelle u1(1) = x1e^2 = 2, u2(1) = x2e^5 = 0, u3(1) = 0 = 1 erhalte ich ja 0 = 1 was eine falsche Aussage ist also keine Lösung des Gleichungssystems. Wie sieht dann die Lösung des Anfangswertproblems aus oder wo habe ich einen Fehler gemacht?

Comments

Ist einer der beiden Eigenwerte ein doppelter Eigenwert?

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Nein, ich denke nicht

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Nein, ich denke nicht

Falsch. Eigenwerte können auch mehrfach vorkommen (mehrfache Nullstellen).

Answer 1

Hallo,

Eigenwerte der Matrix: λ₁ = 5, λ₂ = 2(doppelter Eigenwert)----->Verwende Hauptvektoren:

siehe:

https://www.math.uni-hamburg.de/home/kiani/lehre/DGL1/anl4_d1_1011.pdf

https://de.wikipedia.org/wiki/Hauptraum#Hauptvektor

die Eigenvektoren stimmen.

λ =2:

------->

(A-νE) *ν1 = ν2 ; ν1= Hauptvektor:

\( \begin{pmatrix} 0 & 0& \sqrt{5} \\ 0 & 3& 0\\0 & 0& 0 \end{pmatrix} \) *ν1= \( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \)

---------->

\( \sqrt{5} \) x₃=1 ------>x₃=\( \frac{1}{\sqrt{5}} \)

3 x₂=0 ----->x₂₌0

x₁=0

------>ν1= \( \begin{pmatrix} 0\\0\\\frac{1}{\sqrt{5}} \end{pmatrix} \)

Kontrolle Wolfram Alpha:

eigenvalues \( \left(\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & \sqrt{5} \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)\right. \)

Results:
\( \lambda_{1}=5 \)
\( \lambda_{2}=2 \)
Corresponding eigenvectors:
\( v_{1}=(0,1,0) \)
\( v_{2}=(1,0,0) \)
Corresponding generalized eigenvectors:
\( \lambda=2, \quad \mathrm{u}=\left(0,0, \frac{1}{\sqrt{5}}\right) \)

\( x=c_{1} e^{5 t}\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)+c_{2} e^{2 t}\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)+c_{3} e^{2 t}\left(t\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ \frac{1}{\sqrt{5}}\end{array}\right)\right) \)

dann noch die AWB einsetzen

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Variante 2)

Wenn die Lösungsmethode egal ist:

Löse:

y₁'= 2 y₁ +√5 y₃

y₂'= 5y₂

y₃'= 2y₃ , dann die AWB einsetzen

ohne Hauptvektoren :)