Seien \(M=\{w_1,...,w_m\}\) und \(N=\{u_1,...,u_n\}\) endliche Mengen mit entsprechenden Mächtigkeiten \(|M|=m\) und \(|N|=n\).
Dann ist \(M\times N = \{(x,y)| \ x\in M \land y\in N\} = \bigcup\limits_{i=1}^m \{(w_i, y)| \ y\in N\}\) die Vereinigung disjunkter Mengen mit jeweils \(|N|=n\) Elementen.
Da die Mengen disjunkt sind, folgt \(|M\times N| = \left| \bigcup\limits_{i=1}^m \{(w_i, y)| \ y\in N\}\right| = \sum\limits_{i=1}^m n = m\cdot n\).
Damit ist also auch die resultierende Menge \(M\times N\) endlich.
Mit vollständiger Induktion (z.B. über \(m\)) könntest du natürlich ebenfalls zeigen, dass \(|M\times N|=m\cdot n\).
(Der Induktionsanfang mit \(M=\varnothing\) ist sehr schnell erledigt, im Induktionsschritt dann mit
\((M\cup \{w_{m+1}\}) \times N = (M\times N) \cup (\{w_{m+1}\}\times N)\) sowie der Disjunktheit argumentieren, dass sich die Mächtigkeit um genau \(n\) erhöht).
