Wie ist die Gleichung y^2=(3x^3+y^3)/(x*y' ) als lineare Differentialgleichung lösbar?

Question

Habe in einer alten Klausur für angehende Ingenieure die Aufgabe y^2 = (3x^3+y^3) / (x*y ' ) gefunden und leider keine Musterlösung dafür.

Gesucht ist eine vollständige Lösung dieser Differentialgleichung.

Das lässt sich zu y ' - y/x -3x^2 / y^2 = 0 umformen, womit nur y und y^{-1/2} auftauchen.

Soweit ich das verstanden habe ist das daher als eine lineare DGL 1. Ordnung lösbar. Nur wie geht man da heran?

Answer 1

Hi,

Das wird meist mit einer Substitution gelöst. So auch hier:

y = x*u und damit y' = u + xu'

Das nun einsetzen und vereinfachen führt direkt auf:

∫u^2 du = ∫3/x dx

u^3/3 = 3ln(x)+c

Das noch nach u auflösen und resubstituieren. Das spar ich mir aber ob der späten Stunde :).

Alles klar?

Grüße

Comments

Hatte erst morgen mit einer Antwort gerechnet. Danke, der Tipp Substitution bringt mich echt weiter.

xu' - 3u^2 = 0 führt mich da auf

∫ 1/x dx = ∫ 1/3u^2 du

Also etwas anders als beir dir. Ich setze doch du / dx für u' ein?

Zugegeben, es ist sehr spät für sowas.

Das ergibt für u

u = 9/4 (ln|x| + ln|C|)^2

je nachdem wie man mit C umgehen mag. Mir erschien hier ln|C| wegen ln |x| günstiger.

u dann in die Ausgangsgleichung einsetzen ist klar.

Deine Lösung sieht allerdings griffiger und richtiger aus. Kannst Du da nochmal drüberschauen?

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Morgen ;).

Nee da haste Dich vertan. Trotz der späten Stunde sehe ich bei mir keinen Fehler ;).

Ich setze mal direkt die Substitution ein:

$$x^2u^2 = \frac{3x^3+x^3u^3}{xu+x^2u'}\quad|\cdot\text{Nenner}$$

$$x^3u^3+x^4u^2u' = 3x^3+x^3u^3 \quad  |-x^3u^3 \quad|:x^3$$

$$xu^2u' = 3   \quad|:x$$

$$u^2u' = \frac3x$$


Wie von mir bereits gezeigt ;).