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Aufgabe:


Ist die Folge ((-1)^n*(n+2)/(3n^2-1)) konvergent oder divergent ?

Wäre nett wenn eine Begründung in der Antwort enthalten wäre.



LG

von

Meinst Du die Folge (das ist trivial s. Antwort von Gast az0815) oder die Reihe?

Ich meinte die Folge.

2 Antworten

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Beste Antwort

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Du kannst die Folge \(a_n\coloneqq(-1)^n\frac{n+2}{3n^2-1}\) nach oben und unten abschätzen:

$$\frac{n+2}{3n^2-1}<\frac{n+3}{3n^2}=\frac{n}{3n^2}+\frac{3}{3n^2}=\frac{1}{3n}+\frac{1}{n^2}$$$$\frac{n+2}{3n^2-1}>\frac{n}{3n^2-1}>\frac{n}{3n^2}=\frac{1}{3n}$$

Damit gilt:$$\frac{1}{3n}<\frac{n+2}{3n^2-1}<\frac{1}{3n}+\frac{1}{n^2}\quad;\quad-\frac{1}{3n}>-\frac{n+2}{3n^2-1}>-\frac{1}{3n}-\frac{1}{n^2}$$was du zusammenfassen kannst:$$-\left(\frac{1}{3n}+\frac{1}{n^2}\right)<(-1)^n\,\frac{n+2}{3n^2-1}<\frac{1}{3n}+\frac{1}{n^2}$$

Für \(n\to\infty\) konvergieren die untere Grenze und die obere Grenze gegen \(0\), daher muss auch \((a_n)\) gegen \(0\) konvergieren.

von 79 k 🚀

Sehr schön erklärt ☺

Dank dir !

eine Bemerkung noch dazu: $$\frac{n+2}{3n^2-1}\stackrel{?}{<}\frac{n+3}{3n^2}$$Ein Bruch \(\frac ab\) mit \(a,b \gt 0\) ist nur genau dann kleiner als ein zweiter Bruch \(\frac{a+1}{b+1}\), wenn die Bedingung \( a \lt b\) gilt (was zu zeigen wäre).

Und das ist hier erst erfüllt, wenn \(n \ge 2\) ist.

Wow Werner... Vielen Dank für die Klarstellung.

Ich hatte nur "Pi mal Auge" überschlagen, dass \(3n^2\) wohl größer sein sollte als \(n\) und die kosntanten Terme ignoriert.

Für den Fragensteller:

Die Abschätzung gilt also nur für \(n\ge2\). An der Aussage über den Grenzwert ändert sich nichts ;)

+1 Daumen

Das ist doch offensichtlich(!) eine Nullfolge: Zähler und Nenner sind Polynomfolgen und die Nennerfolge hat den größeren Grad. Der faktor (-1)^n im Zähler ist hier unbedeutend.

von 22 k

Was soll denn dein Ausrufezeichen hinter "offensichtlich" ? Hast wohl vergessen, dass du auch mal klein angefangen hast, was ?

Ich war hier lediglich unsicher wegen (-1)^n, alles klar ?

Du kannst (-1)^n wahlweise durch (-1) oder (+1) ersetzen und bekommst dann eine untere und eine obere Schranke für die gegebene Folge. Die beiden Schranken sind jeweils Nullfolgen und der gegebenen Folge bleibt nichts anderes übrig, als auch gegen Null zu konvergieren.

Was soll denn dein Ausrufezeichen hinter "offensichtlich" ?

Das sollte eigentlich nur betonen, dass ich persönlich die Konvergenz des Beispiels tatsächlich als offensichtlich empfinde. Mehr wollte ich nicht sagen und teilen muss man meine Empfindung natürlich auch nicht.

Jetzt spiele das mal hier nicht herunter. Da bist du bei mir nämlich an der falschen Adresse ! Wenn du schreibst, dass das "doch offensichtlich !" ist, dann heißt das sinngemäß "Das muss man doch sehen!" und diese Art und Weise auf eine Frage zu antworten finde ich einfach nur zum Kotzen !

Das ist auch der Grund warum manche Menschen Angst vor Mathematik haben, einen großen Bogen um Mathematik machen. Weil sie früher irgendwann von irgendeinem Scheiß Mathelehrer demotiviert wurden, zum Beispiel weil sie von diesem von oben herab behandelt oder gedemütiigt worden sind. Und so nie die Mathematik weiterverfolgt haben, obwohl manche bestimmt über mathematisches Talent verfügen.

Wissen ist Macht, ein Lehrer weiß mehr als der Schüler, ein Professor mehr als ein Student, ein erfahrener Forenteilnehmer mit mehreren tausend getätigten Antworten in der Regel mehr als ein neuer Teilnehmer, etc...so entstehen einseitige Machtverhältnisse. Leider wird diese Macht manchmal mißbraucht und die betroffenen Schüler, Studenten, Forenteilnehmer etc ...sind dann die Leidtragenden. Nur weil die, die Macht haben, in diesem Fall einen schlechten Job machen.

Hättest du dich entschuldigt, dass du einen schlechten Tag gehabt hast, deswegen in deiner Antwort etwas überreagiert hast, dann könnte ich das akzeptieren, dann würde ich sagen "Schwamm drüber". Doch dein letzter Kommentar zeigt, dass du nichts verstanden hast und dich versuchst hier billig rauszuwinden. Wahrscheinlich ein Versuch, dass hier im Forum dein Status bzw. deine Reputation nicht angekratzt wird.

Mehr gibt´s dazu nicht zu sagen, sollte ich hier in Zukunft weitere Fragen stellen, bitte antworte mir nicht auf meine Fragen, auf deine Art zu antworten kann ich nämlich getrost verzichten.

Wenn du schreibst, dass das "doch offensichtlich !" ist, dann heißt das sinngemäß "Das muss man doch sehen!" und diese Art und Weise auf eine Frage zu antworten finde ich einfach nur zum Kotzen !

Dann gewöhne dich mal lieber dran. Die Formulierungen "trivial", "offensichtlich", "klar" und "bleibt dem Leser überlassen" finden in der Mathematik rege Anwendung.

Das ist meist auch nicht wertend gemeint. Sondern einfach eine Tatsache.

Du könntest aus dieser Antwort übrigens sogar mehr mitnehmen, als aus der anderen.

Zähler und Nenner sind Polynomfolgen und die Nennerfolge hat den größeren Grad.

Und wenn du dieses Prinzip erst einmal realisiert hast, ist es tatsächlich einfach offensichtlich. Dann wirst du zukünftig nie wieder auch nur eine Sekunde über so etwas nachdenken müssen.

Ist \( f \) ein Polynom vom Grad \( d \) gilt für \( n \) hinreichend groß \( f(n) \approx l(f) n^d \). Wobei \( l(f) \) dein Leitkoeffizienten von \( f \) bezeichne.

Für große n gilt also

$$  (-1)^n \frac{n+2}{3n^2 -1} \approx (-1)^n \frac{n}{3n^2} = (-1)^n \frac{1}{3n} \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} 0 $$

(beschränkte Folge) * (Nullfolge) = (Nullfolge)

Kannst ja mal für die folgenden Folgen für \( n \to \infty \) raten/bestimmen ob sie Konvergieren und wenn ja gegen welchen Grenzwert.

$$ \frac{2n^3-42n^2+16n-7}{5n^3 + 13n^2 - 12} $$

$$ \frac{n^4 + 5n^2 - 4}{n^2 + 2n} $$

$$ \sin(3n^2+\exp(n)) \frac{4n+7}{19n^5 - 7n^2 + 4} $$

Anstatt also in so etwas einen persönlichen Angriff zu sehen solltest du dir lieber angewöhnen die Methoden zu übernehmen, die dem anderen die Lösung offensichtlich erscheinen lassen, um zukünftig auch direkt und ohne große Anstrengungen ähnliche Aufgaben lösen zu können

Die Formulierungen "trivial", "offensichtlich", "klar" und "bleibt dem Leser überlassen" finden in der Mathematik rege Anwendung.

Das ist richtig, und ich benutze dieses 'Wording' selber auch. Und ja - wenn diese Worte unter Leuten vergleichbaren 'Mathe-Levels' benutzt werden, ist es auch absolut angemessen. Trotzdem möchte ich Stephen mit seiner Kritik Recht geben.

Hier im Forum haben wir es doch oft mit Menschen zu tun, die eben nicht mit dem Mathe-Gen gesegnet sind und eventuell an Stellen Schwierigkeiten haben, die wir Antwortenden uns gar nicht vorstellen können.

Es ist doch immer wieder zu beobachten, dass Grundlagen nicht verstanden worden sind. Auch bei Leuten die sich allen Anschein nach bereits im Studium befinden, stellt man dann fest, dass Dinge wie

- Punkt- geht vor Strichrechnung

- die Geradengleichung in Parameterform

- die Steigung einer Funktion

- und vieles andere (z.B. Dreisatz !)

schlicht nicht angewendet werden können. Warum das auch immer so ist. Es berechtigt uns nicht, hier ein Verhalten 'von oben herab' an den Tag zu legen. Denn das Resultat ist:

Das ist auch der Grund warum manche Menschen Angst vor Mathematik haben, einen großen Bogen um Mathematik machen.

dem kann ich nur zustimmen. Wenn wir den Fragenden wirklich helfen wollen, dann sollten wir darauf Rücksicht nehmen. Letzlich wollen wir doch auch für Mathematik werben und nicht Leute von derselben abstoßen - oder?

... und wenn wir schon dabei sind: Warum verdient die dummdreiste Bemerkung unter dieser Antwort 4 Likes? D.h. da haben vier (bzw. fünf) Leute gemeint, dass der Fragende eine vernünftige Antwort nicht verdient, womöglich weil er/sie zu blöd zum Fragen ist.

Was sind wir bloß für eine überhebliche Truppe!

Dabei bin ich mir sicher, dass die Frage genauso aus einem Script eines (auch schlauen) Mathe-Dozenten stammt.

Solche Konvergenzbestimmungen sind meist einfach nur stupides abschätzen/umformen. Da gibt es in meinen Augen kein Patentrezept für, man muss halt rumprobieren.

Es ist aber hilfreich zu wissen, wie man sich das gesuchte Ergebnis auch auf einem "informalen" Weg selbst herleiten kann. Dann hat man immerhin ein Ziel auf das man im Beweis hinarbeiten kann. Wenn ich weiß dass die Folge gegen 0 konvergiert suche ich eine majorisierende Nullfolge. Wenn ich weiß, dass die Folge divergiert, suche ich eine divergierende Minorante.

Die Frage war aber nicht "wie beweise ich hier formal Konvergenz oder Divergenz" sondern "konvergiert oder divergiert die Folge". Und da man diese Frage wie oben skizziert bei solchen gebrochenrationalen Folgen durch bloßes hinsehen beantworten kann, sollte man den Fragesteller auch darauf hinweisen (dürfen). Da nimmt er ja mehr für sein weiteres Mathe-Leben mit. In 3 Jahren wird ihn kein Mensch mehr bitten, den Beweis für so etwas hin zu schreiben. Von weiterem Nutzen wird vor allem die Fähigkeit bleiben zu entscheiden, ob Konvergenz/Divergenz vorliegt und falls Konvergenz vorliegt den Grenzwert bestimmen zu können.

Dann gewöhne dich mal lieber dran. Die Formulierungen "trivial", "offensichtlich", "klar" und "bleibt dem Leser überlassen" finden in der Mathematik rege Anwendung.
Das ist richtig, und ich benutze dieses 'Wording' selber auch. Und ja - wenn diese Worte unter Leuten vergleichbaren 'Mathe-Levels' benutzt werden, ist es auch absolut angemessen.


Zum Gebrauch des Wortes "offensichtlich" folgende Antwort eines erfahrenen Community-Experten für Mathematik.

"Das Wort "Offensichtlich" ist ein subjektives Wort, was in der Mathematik - wo es um exakte Aussagen und Formeln geht - nichts zu suchen hat! Wenn man ein Text mit diesem Wort in die mathematische Sprache wandeln soll, würde es etwa so aussehen:
Die Aussage "..." hat in den Augen des Verfassers "..." eine Wahrscheinlichkeit von 51% ... 99%.
Mit dieser schwammigen Aussage kann zwar ein Politiker was anfangen -> aber kein Mathematiker.

Beispiel:
Es gibt zig mathematische Konstanten, die "offensichtlich" für Pi gehalten wurden -> sich dann aber ab der x. Stelle als falsch erwiesen! Würde man mit dieser "falschen Konstante" weitere Schlußfolgerungen (Formeln) erzeugen, können völlig falsche Theorien entstehen!

Da Abweichungen bis in die 18000. Stelle gefunden wurden, gibt es bei "echten Wissenschaftlern" immer Validierungsberechnungen (es gibt z.B. für Pi Algorithmen, wo man nur die x. Stelle ohne die zig Mio. davor schnell berechnen kann)."

Hier im Forum haben wir es doch oft mit Menschen zu tun, die eben nicht mit dem Mathe-Gen gesegnet sind und eventuell an Stellen Schwierigkeiten haben, die wir Antwortenden uns gar nicht vorstellen können


Die "Antwortenden" haben auch mal klein angefangen und waren auf dem untersten Level. Die "Antwortenden" haben auch irgendwann mal zu Beginn Fragen gestellt, wo manch andere, die auf einem höheren Level standen, sich gefragt haben, warum versteht der das nicht. Das hat also nichts mit "Mathe-Gen" zu tun.

@Werner-Salomon. Aber ich danke dir generell für deine Unterstützung in der Sache. Du hast verstanden worauf es ankommt. Ich wünschte mehr Menschen würden so denken.

Ach übrigens, war mir bei der Aussage sofort klar, dass die Nennerfolge den größeren Grad hat, jedoch hatte mich die divergente Folge (-1)^n anfangs etwas irritiert. Die Irritation war aber dann schnell beseitigt und ich habe meinen Fehler erkannt.



Ach wenn du wüsstest wie ich damals angefangen habe... Ich habe die ersten Analysis Vorlesungen gerade so mit Ach und Krach bestanden. Das war für mich definitiv kein Zuckerschlecken. Und trotzdem nehme ich mir heute heraus auch diesen Stoff als trivial zu bezeichnen. Weil er es objektiv einfach ist! Es geht hier nicht darum irgendein Millenium-Problem zu lösen, sondern das Grenzverhalten einer langweiligen Folge zu bestimmen. Da muss man schon etwas Realismus an den Tag legen.

Zum Gebrauch des Wortes "offensichtlich" folgende Antwort eines erfahrenen Community-Experten für Mathematik.

"Das Wort "Offensichtlich" ist ein subjektives Wort, was in der Mathematik - wo es um exakte Aussagen und Formeln geht - nichts zu suchen hat!

Dem widerspreche ich ganz klar. Du hast nur eine begrenzte Lebenszeit und willst irgendwann auch mal was schaffen. Es wird früher oder später der Punkt kommen, da kann man nicht mehr auf jedes Detail eingehen und gerade einfache Dinge muss man dann zwangsweise entweder komplett ungesagt lassen oder eben kurz ansprechen und mit "offensichtlich" ad acta legen.

Wichtig dabei ist natürlich, dass das was man als offensichtlich bezeichnet auch inhaltlich korrekt ist.

Ach übrigens, war mir bei der Aussage sofort klar, dass die Nennerfolge den größeren Grad hat, jedoch hatte mich die divergente Folge (-1)n anfangs etwas irritiert. Die Irritation war aber dann schnell beseitigt und ich habe meinen Fehler erkannt.

Wie hättest du dann mit der Antwort umgehen können?

Dir war klar, dass der zweite Faktor gegen 0 geht? Warum ist für den Antwortenden immer noch offensichtlich, dass auch das Produkt mit (-1)^n gegen 0 geht?

Dann könnte man sich fragen, ob man vielleicht irgendeine grundlegende Eigenschaft/Regel übersieht und dann könnte man evtl. in seine Unterlagen schauen, googeln, evtl. hat man bei einer anderen Aufgabe in der Vergangenheit schon einmal ähnlich argumentiert. Und entweder man findet dann diese Regel

(beschränkte Folge) * (Nullfolge) = (Nullfolge)

oder man findet sie nicht, dann könnte man nachfragen: "Was übersehe ich hier? Der zweite Faktor geht ja gegen 0. Der erste nicht, aber warum ist für dich direkt ersichtlich, dass der das Konvergenzverhalten nicht beeinflusst?".

Es ist einfach eine Frage des Blickwinkels:

Entweder lässt man sich von Menschen mit einem tieferen und besseren Verständnis demotivieren und schlüpft in eine "Opferrolle". Oder man setzt sich das Ziel, dass irgendwann auch mal zu können. Lernen setzt Eigeninitiative voraus, also such doch deine intrinsische Motivation und den Willen das zu begreifen und stell das über solche Oberflächlichkeiten?

Entweder lässt man sich von Menschen mit einem tieferen und besseren Verständnis demotivieren und schlüpft in eine "Opferrolle". Oder man setzt sich das Ziel, dass irgendwann auch mal zu können. Lernen setzt Eigeninitiative voraus, also such doch deine intrinsische Motivation und den Willen das zu begreifen und stell das über solche Oberflächlichkeiten?

Darum geht´s doch gar nicht ! Hier in dem Forum werden teilweise Fragende mit dummdreisten Bemerkungen von oben herab behandelt. Siehe dazu den Kommentar und den Link von Werner-Salomon. Und so ein Verhalten geht gar nicht ! Diese Leute, die solche herablassenden Kommentare hinterlassen sind einfach unreif, haben psychische Probleme oder schwere Charakterdefizite.

Ich persönlich kann mit solchen dummdreisten Bemerkungen umgehen, weil ich emotional stabil bin, aber nicht jede Person, vor allen Dingen sehr junge Menschen besitzen eine emotionale Stabilität. Solche frühen negativen Erfahrungen sorgen später dafür, dass diese Personen versuchen Mathematik zu meiden.

Wie hättest du dann mit der Antwort umgehen können?

Dir war klar, dass der zweite Faktor gegen 0 geht? Warum ist für den Antwortenden immer noch offensichtlich, dass auch das Produkt mit (-1)n gegen 0 geht?

Dann könnte man sich fragen, ob man vielleicht irgendeine grundlegende Eigenschaft/Regel übersieht und dann könnte man evtl. in seine Unterlagen schauen, googeln, evtl. hat man bei einer anderen Aufgabe in der Vergangenheit schon einmal ähnlich argumentiert. Und entweder man findet dann diese Regel

(beschränkte Folge) * (Nullfolge) = (Nullfolge)
oder man findet sie nicht, dann könnte man nachfragen: "Was übersehe ich hier? Der zweite Faktor geht ja gegen 0. Der erste nicht, aber warum ist für dich direkt ersichtlich, dass der das Konvergenzverhalten nicht beeinflusst?".


Ein Fragender muss sich nicht rechtfertigen auf welchem exakten Wissensstand er ist, was die betreffende Aufgabe anbelangt. Wenn eine Frage, welche klar formuliert worden ist, gestellt wurde, dann darf der Fragende auch eine sachlich vorgetragene Antwort erwarten. Sollte das nicht der Fall sein, hat der Fragende das Recht dies zu kritisieren. Mehr gibt´s dazu nicht mehr zu sagen. Am besten wir beenden das Thema jetzt an dieser Stelle.

Hier in dem Forum werden teilweise Fragende mit dummdreisten Bemerkungen von oben herab behandelt.

Ich erkenne an der Antwort nichts dummdreistes. Wer in der Mathematik zu nachlässig ist präzise Fragen zu stellen (und das bezieht sich in dem Fall nicht zwingend auf den Fragenden, sondern den Fragesteller also Lehrer/Prof was auch immer) verdient genau so eine Antwort. Sie ist inhaltlich nicht falsch und beantwortet die Frage die gestellt wurde. Und darum geht es hier: Mathematische Fragen beantworten, nicht die richtige Fragestellung zu erraten...

Ein Fragender muss sich nicht rechtfertigen auf welchem exakten Wissensstand er ist, was die betreffende Aufgabe anbelangt.

Dann darf der Fragesteller aber auch keine Ansprüche an die Antwort haben, was die Ausführlichkeit betrifft.

Wenn eine Frage, welche klar formuliert worden ist, gestellt wurde, dann darf der Fragende auch eine sachlich vorgetragene Antwort erwarten.

Die hast du bekommen. Sinngemäß

"Es ist eine Nullfolge, das erkennst du an den Graden von Zähler und Nenner. Der Faktor (-1)^n spielt keine Rolle"

Das ist einerseits inhaltlich vollkommen richtig. Und beantwortet dazu auch noch deine Frage, ob die Folge konvergiert/divergiert + es ist auch noch begründet. Was willst du dann noch?

Zur Erinnerung, deine Frage:

Ist die Folge ((-1)n*(n+2)/(3n2-1)) konvergent oder divergent ?

Wäre nett wenn eine Begründung in der Antwort enthalten wäre.

Wenn du einen detaillierten Lösungsweg erwartest solltest DU halt auch danach fragen. Aber wenn du hier nur deine Hausaufgaben rein klatscht ohne eine aussagekräftige Frage dazu zu stellen, kann keiner ahnen was dir da beim Verständnis fehlt oder was du eigentlich überhaupt willst.

Und anstatt dich dann für die inhaltliche korrekte Antwort/den Hinweis zu bedanken, fängst du lieber wegen einem Ausrufezeichen(!) an zu heulen. Und das ist für dich ein besseres zwischenmenschliches Verhalten?

In diesem Sinne.

Wenn du einen detaillierten Lösungsweg erwartest solltest DU halt auch danach fragen. Aber wenn du hier nur deine Hausaufgaben rein klatscht ohne eine aussagekräftige Frage dazu zu stellen, kann keiner ahnen was dir da beim Verständnis fehlt oder was du eigentlich überhaupt willst.


Du armes, armes Kind ! Selten so einen Schwachsinn gehört ! Wie willst du denn beurteilen, welche Gründe dazu geführt haben, dass die Frage so gestellt wurde ? Da gibt es zig gute Gründe. Ein Grund könnte sein, dass der Fragende normalerweise immer versucht die Lösung eines ihm gestellten mathematischen Problems selbst zu lösen, was ihm eigentlich auch immer gelingt, manchmal gibt es aber Ausnahmefälle in denen er keine Zeit hat oder aus gesundheitichen Gründen nicht in der Lage ist, sich weiter mit der Ausarbeitung der Lösung zu befassen, die korrekte Lösung aber gerne zeitnah wissen will und diese im Forum stellt. Was du erzählst ist wirklich Bullshit !!!

Und anstatt dich dann für die inhaltliche korrekte Antwort/den Hinweis zu bedanken, fängst du lieber wegen einem Ausrufezeichen(!) an zu heulen. Und das ist für dich ein besseres zwischenmenschliches Verhalten?

In diesem Sinne

Du hast wohl noch nicht mitbekommen, dass ich mich hier für sachliche Antworten bereits bedankt habe.

Aber ich glaube dir ist das auch egal, du willst nur provozieren, bist eine Troll. Von daher treibe dein Unwesen irgendwoanders und verzieh dich !

Da gibt es zig gute Gründe. Ein Grund könnte sein, dass der Fragende normalerweise immer versucht die Lösung eines ihm gestellten mathematischen Problems selbst zu lösen, was ihm eigentlich auch immer gelingt, manchmal gibt es aber Ausnahmefälle in denen er keine Zeit hat oder aus gesundheitichen Gründen nicht in der Lage ist, sich weiter mit der Ausarbeitung der Lösung zu befassen, die korrekte Lösung aber gerne zeitnah wissen will und diese im Forum stellt. Was du erzählst ist wirklich Bullshit !!!

Dann sprich das bitte mit deinen Dozenten/Tutoren ab. Dafür gibt es die und dafür werden die auch bezahlt. Kein Grund hier Leute anzugehen, weil du irgendwie persönlich schlecht drauf oder mit deinem Leben unzufrieden bist.

Jetzt aber wirklich: schönen Tag dir noch :)

Und die Tatsache mit den beschränkten Folgen und den Graden vergisst du bitte nie mehr. Sonst war das ja komplett sinnlos.

Ok, eine letzte Sache schiebe ich noch hinterher:

Ich habe dir oben drei Beispielaufgaben gegeben, anhand denen du die angesprochene Techniken/Fakten selbstständig anwenden und üben kannst. Hattest du dazu keine Lust? Falls doch, interessiert dich nicht ob deine Lösungen korrekt sind? Oder hast du das in deinem Zorn einfach überlesen?

Kein Grund hier Leute anzugehen, weil du irgendwie persönlich schlecht drauf oder mit deinem Leben unzufrieden bist.

Wenn ich es nicht besser wüsste, würde ich sagen, dass du aufhören sollst, rumzuheulen ☺

Dann sprich das bitte mit deinen Dozenten/Tutoren ab. Dafür gibt es die und dafür werden die auch bezahlt.

Solange anhand der Frage nicht klar ist, dass der Fragende faul ist und irgendwelche Hausaufgaben reinklatscht, gehört es sich, jegliche Unterstellungen zu unterlassen und die Frage sachlich zu beantworten.

Jetzt aber wirklich: schönen Tag dir noch :)

Ja, wünsche ich dir ebenfalls ☺

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