Fehlerwahrscheinlichkeit eines Geräts mit 4 Schaltern

Question

Aufgabe:
Ein Gerät enthält vier Schalter. Wir wollen, dass das Gerät zu 90% arbeitet. Wie groß ist darf die Fehlerwahrscheinlichkeit für einen Schalter sein, wenn das Gerät

a) mit nur einem funktionierenden Schalter funktionstüchtig ist,
b) nur mit allen schaltern funktioniert.

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz wäre gewesen, die WSK in die Binomialfunktion einzusetzen da es ja zwei Möglichkeiten gibt entweder es funktioniert oder es funktioniert nicht, allerdings weiß ich nicht genau wie ich dies einsetzen soll.

,

zorny

Answer 1

Aloha :)

Die Fehlerwahrscheinlichkeit eines Schalters sei im Folgenden \(p\).

a) Hier muss mindestens einer der vier Schalter mit der Wahrscheinlichkeit 90% funktionieren. Die Wahrscheinlichkeit, dass alle vier Schalter ausfallen muss also kleiner als 10% sein.$$p^4<0,1\implies p<\sqrt[4]{0,1}=56,23\%$$

b) Hier müssen alle vier Schalter mit der Wahrscheinlichkeit 90% funktionieren. Wenn \(p\) die Fehlerwahrscheinlichkeit eines Schalters ist, bedeutet \((1-p)\) die Wahrscheinlichkeit, dass der Schalter funtioniert:$$(1-p)^4\ge0,9\implies 1-p\ge\sqrt[4]{0,9}\implies p\le1-\sqrt[4]{0,9}=2,60\%$$

Answer 2

Ist X die Anzahl der funktionierenden Schalter, dann könnten wir X als binomialverteilt mit den Parametern n=4 (Anzahl der Schalter) und p=? (gesuchte Wahrscheinlichkeit, dass ein Schalter funktioniert) annehmen. Wir wollen dann P(X≥0.9) fordern. Damit ergibt sich:

a) P(X≥1) ≥ 0.9

b) P(X=4) ≥ 0.9

Bei a) würde ich auf das Gegenereignis umrechnen. Beide Gleichungen lassen sich dann mit der Bernoulli-Formel nach p umstellen.

Comments

Super danke,
werde das gleich mal (mit ein bisschen google) probieren :-)

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Google? Das ist doch genau dein Ansatz, oder?

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Ja ich meine wie ich das dann auf p umstelle mit bernoulli, das muss ich noch mal nachschauen wie das funktioniert.

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Ist bei a) nicht gemeint "mit genau 1 funktionierenden Schalter"?

3 dürfen/müssen defekt sein.

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Ist bei a) nicht gemeint "mit genau 1 funktionierenden Schalter"?

Habe ich auch dran gedacht, dann habe diese Möglichkeit wieder verworfen.

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Warum? Es heißt doch "nur einem"?

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3 dürfen/müssen defekt sein.

Ja so ist das gemeint glaub ich, also einer muss funktionieren und die anderen drei dürfen kaputt sein.

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Die Schaltfunktion "Gerät arbeitet, wenn genau ein Schalter an ist" ist auch denkbar, aber sicher auch sehr erklärungsbedürftig.

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Ja der Prof legt nicht so auf den Realismus der Szenarien wert ☺.
Sagen wir mal es sind vier Schalter die alle die gleiche funktion haben :D

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dann gilt:

(4über1)*p^1*(1-p)^3 = 0.9

4*p*(1-p)^3 = 0.9

Dafür gibt es keine reelle Lösung:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=4*p%5E3*%281-p%29+%3D0.9