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Aufgabe:

Bestimmen Sie alle Extremwerte des Integralsinus \(\operatorname{Si}(.)\),

\(\operatorname{Si}(x)= \int\limits_{0}^{x} \frac{\sin(t)}{t}\ dt\) mit \(x\in \mathbb{R}_{\geq 0}\)

und geben Sie alle Minima und Maxima an!


Problem/Ansatz:

Ich weiß dass ich für die Minima und Maxima ableiten muss, jedoch habe ich noch nie etwas von einem Integralsinus gehört bzw. haben wir das nicht durchgenommen


von

Bist du sicher, dass das \(x\) in dem Integranden stimmt?

Der Integralsinus ist normalerweise: \(\operatorname{Si}(x)=\int\limits_0^x\frac{\sin t}{t}\,dt\)

Habe ich bearbeitet/korrigiert. ;-)

3 Antworten

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Aloha :)

Du musst, wie immer, die Ableitung gleich \(0\) setzen$$\operatorname{Si}'(x)=\frac{d}{dx}\left(\int\limits_0^x\frac{\sin t}{t}\,dt\right)=\frac{\sin x}{x}\stackrel!=0$$Die Nullstellen der Ableitung sind offensichtlich die Nullstellen derSinusfunktion:$$x_n=n\cdot\pi\quad;\quad n\in\mathbb N$$Beachte, dass die Funktion \(Si(x)\) mit Definitionsbereich \(\mathbb R^{\ge0}\) bei \(x=0\) nicht differenzierbar ist. Es gilt aber \(Si(0)=0\), sodass für \(x=0\) ein Randextremum vorliegt. Daher haben wir Extremwerte-Kandidaten für:$$x_n=n\cdot\pi\quad;\quad n\in\mathbb N_0$$

Du kannst jetzt noch die zweite Ableitung heranzieren$$\operatorname{Si''(x)}=\frac{\cos x}{x}-\frac{\sin(x)}{x^2}\implies\operatorname{Si''(n\pi)}=\frac{\cos(n\pi)}{n\pi}=\frac{(-1)^n}{n\pi}\ne0$$um zu begründen, dass alle Kandidaten \(x_n\) mit \(n\ge1\) tatsächlich Extrema sind.

von 82 k 🚀

Danke recht herzlich

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Hallo

den Integralsinus muss man nicht kennen, der ist ja hier definiert. Differenzieren eines Integrals macht man mit dem Hauptsatz, x kannst du aus dem Integral ziehen und dann Produktregel.

Gruß lul

von 66 k 🚀
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Vielleicht geht ja mit dieser Graphik ein Lichtlein an. Ich habe jeweils im Abstand Pi einen Punkt gesetzt.

blob.png

von 15 k

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