Finden Sie eine Flächenparametrisierung für F .

Question

Aufgabe:

Sei \( F=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid y^{2}=8 x, 0 \leq y^{2}+z^{2} \leq 9\right\} \subset \mathbb{R}^{3} . \)

a) Finden Sie eine Flächenparametrisierung für \( F \).

Problem/Ansatz:

Ich bräuchte Hilfe nicht zur zu der Aufgabe sondern allgemein zur Parametrisierung von Flächen und ob ihr eventuelle Tipps habt wie man dabei vorgehen und worauf man achten sollte.

Ich habe nur grobe Beispiele im Internet gefunden.

PS: Ich habe mir überlegt eventuell Zylinderkoordinaten für eine Parametrisierung zu verwenden und habe die überlegung gemacht ,dass es bei 0 < y^2+z^2<9 um einen Kreis handelt mit dem radius 9 welcher sich in der yz Ebene befindet. Weiter wusste ich jedoch nicht.

Answer 1

Aloha :)

Schau mal bitte hier:

https://www.mathelounge.de/861935/flussintegral-vektorielle-allgemeine-vorgehesnweise

Da habe ich ein Fluss-Integral mit genau derselben Parametrisierung berechnet.

Wegen \(y^2+z^2\le9\) drängt sich die Parametrisierung in Polarkoordinaten auf:$$y=r\cos\varphi\quad;\quad z=r\sin\varphi\quad;\quad r\in[0;3]\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]$$Zusätzlich muss die Forderung \(8x=y^2\) erfüllt werden, also ist$$x=\frac{y^2}{8}=\frac18r^2\cos^2\varphi$$Damit haben wir folgende Parametrisierung gefunden:$$\vec r=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{r^2}{8}\cos^2\varphi\\r\cos\varphi\\ r\sin\varphi\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;3]\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]$$