Du nervst nicht und das Bemühen den Dingen auf den Grund zu gehen bringt dich sicher weiter.
Transformationen sind
Verschiebung (Translation), Drehung (Rotation), Spiegelung.
Streckung (Zentrische Streckung), Ähnlichkeitsabbildung,..
Ein homogene KOS ist quasi eine Hyperebene im R^4, also ein R^3, auf dem die Abbildungen ausgeführt werden. Interessant ist erst mal, das Translationen auch als eine R^4-Matrix dargestellt werden - so dass das Hinterenanderausführen einfache Matrixmultiplikationen sind.
Sei D Deine Rotationsmatrix ∈R3, dann ist
\(\left(\begin{matrix}\begin{matrix}\; &\;&\; \\ \;&D&\; \\ \;&\;&\; \end{matrix} & \begin{matrix}0\\0\\0\end{matrix}\\ \begin{matrix}0&0&0\end{matrix} &\textcolor{red}{1}\end{matrix}\right)\)
die homogene Version.
kurze Zusammenfassung: https://www.geogebra.org/m/BpqJ28eP#material/akdx83hr
Ich würde das Konzept der homogenen KO erst mal auslassen - spielt erst mal keine Rolle.
ZU
>Deshalb nimmt man den normierten Vektor und nicht einfach den Achsenvektor, korrekt?<
hab ich oben geschrieben:
die matrix oben arbeitet im kartesischen KOS mit einem nicht normierten achsenvektor(rot) n=(n1,n2,n3). wenn etwas normiert werden kann, dann ist das der achsenvektor n. das vereinfacht die matrix. auch diese version findest du in meinem link und auch im wikipedia. das bild zeigt die schrittweise rotation um achsenvektor n, winkel t eines vektors v(grün) über eine matrixfunktion R(1,2,3,t) t=0,5,..360 grd.
also diese matrixfunktion
\(\scriptsize D(n1, n2, n3, t) \, := \, \left(\begin{array}{rrr}\frac{n1^{2} \; \left(1 - \operatorname{cos} \left( t \right) \right) + \left(n1^{2} + n2^{2} + n3^{2} \right) \; \operatorname{cos} \left( t \right)}{n1^{2} + n2^{2} + n3^{2}}&\frac{n1 \; n2 \; \left(1 - \operatorname{cos} \left( t \right) \right) - n3 \; \operatorname{sin} \left( t \right) \; \sqrt{n1^{2} + n2^{2} + n3^{2}}}{n1^{2} + n2^{2} + n3^{2}}&\frac{n1 \; n3 \; \left(1 - \operatorname{cos} \left( t \right) \right) + n2 \; \operatorname{sin} \left( t \right) \; \sqrt{n1^{2} + n2^{2} + n3^{2}}}{n1^{2} + n2^{2} + n3^{2}}\\\frac{n1 \; n2 \; \left(1 - \operatorname{cos} \left( t \right) \right) + n3 \; \operatorname{sin} \left( t \right) \; \sqrt{n1^{2} + n2^{2} + n3^{2}}}{n1^{2} + n2^{2} + n3^{2}}&\frac{n2^{2} \; \left(1 - \operatorname{cos} \left( t \right) \right) + \left(n1^{2} + n2^{2} + n3^{2} \right) \; \operatorname{cos} \left( t \right)}{n1^{2} + n2^{2} + n3^{2}}&\frac{n2 \; n3 \; \left(1 - \operatorname{cos} \left( t \right) \right) - n1 \; \operatorname{sin} \left( t \right) \; \sqrt{n1^{2} + n2^{2} + n3^{2}}}{n1^{2} + n2^{2} + n3^{2}}\\\frac{n1 \; n3 \; \left(1 - \operatorname{cos} \left( t \right) \right) - n2 \; \operatorname{sin} \left( t \right) \; \sqrt{n1^{2} + n2^{2} + n3^{2}}}{n1^{2} + n2^{2} + n3^{2}}&\frac{n2 \; n3 \; \left(1 - \operatorname{cos} \left( t \right) \right) + n1 \; \operatorname{sin} \left( t \right) \; \sqrt{n1^{2} + n2^{2} + n3^{2}}}{n1^{2} + n2^{2} + n3^{2}}&\frac{n3^{2} \; \left(1 - \operatorname{cos} \left( t \right) \right) + \left(n1^{2} + n2^{2} + n3^{2} \right) \cdot \operatorname{cos} \left( t \right)}{n1^{2} + n2^{2} + n3^{2}}\\\end{array}\right)\)
erstellt eine Matrix, die dreht um einen beliebigen Achsenvektor (n1,n2,n3) mit t Grad! z.B.
n=(1,2,3) T
\(\small D_{n,60°} \, := D(1,2,3,60°)= \, \left(\begin{array}{rrr}\frac{15}{28}&\frac{1}{28} \; \left(-3 \; \sqrt{42} + 2 \right)&\frac{1}{28} \; \left(2 \; \sqrt{42} + 3 \right)\\\frac{1}{28} \; \left(3 \; \sqrt{42} + 2 \right)&\frac{9}{14}&\frac{1}{28} \; \left(-\sqrt{42} + 6 \right)\\\frac{1}{28} \; \left(-2 \; \sqrt{42} + 3 \right)&\frac{1}{28} \; \left(\sqrt{42} + 6 \right)&\frac{37}{56}\\\end{array}\right)\)
nim dir GeoGebra und verwende diese Matrix um einen vektor, sagen wir v=(5,1,0), zu drehen....
