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Aufgabe:

T2(x) einen Näherungswert für e3 \sqrt[3]{e} => T2 = 1-x22 \frac{x^2}{2}


Problem/Ansatz:

… Kann mir jemand erklären wie das Funktioniert ? Am Liebsten mit der Rechnung

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Hallo,

verwende Eure Formel für das Taylor-Polynom zu einer Funktion f mit folgenden Daten:

f(x)=exp(x),x0=0,x=13f(x)=\exp(x), x_0=0, x=\frac{1}{3}

Gruß Mathhilf

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@M: Wie kommst du denn damit auf das zu verwendende T2?

Naja, ich habe mal als Aufgabe herausgelesen, dass ein Näherungswert für exp(1/3)\exp(1/3) mit Hilfe des Taylorpolynoms T_2 zu bestimmen ist. Wenn das getan ist, ergeben sich neue Fragen zur Formulierung der Aufgabe.

Alternativ kann man den Fragesteller auch bitten, seine Aufgabenstellung zu überprüfen- sprachlich und fachlich.

Ermitteln Sie unter Verwendung von T2 (x) einen Näherungswert für 3 e3 \sqrt[3]{e}  (Ergebnis als Bruch angeben).

Okay, stell mal ein Foto der gesamten Aufgabe, ggf. auch mit den zugehörigen Aufgabenteilen davor, ein.

2 Antworten

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Guten Morgen. Wie man die Aufgabe systematisch löst, würde mich auch interessieren. Ich habe mit ein paar kleinen Überlegungen in Verbindung mit Ausprobieren diese Lösung gefunden: exp(x22),x0=0\exp\left(\dfrac{-x^2}{2}\right),\quad x_0=0

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Aloha :)

Du kannst entweder die Definition der exe^x-Funktion über eine Potenzreihe heranziehen:ex=n=0xnn!=1+x+x22+n=2xnn!e^x=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2}+\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{x^n}{n!}oder die Taylor-Reihe bis zur zweiten Ordnung um x0=0x_0=0 herum entwickeln:f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+12f(x0)(xx0)2f(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)+\frac12f''(x_0)\cdot(x-x_0)^2f(x)=f(0)+f(0)x+12f(0)x2\phantom{f(x)}=f(0)+f'(0)\cdot x+\frac12f''(0)\cdot x^2f(x)=e0+e0x+12e0x2\phantom{f(x)}=e^0+e^0\cdot x+\frac12e^0\cdot x^2In beiden Fällen erhalten wir als Näherungsformel:ex=1+x+x22e^x=1+x+\frac{x^2}{2}

Wegen e3=e1/3\sqrt[3]{e}=e^{1/3} gilt daher die Näherung:

e3=1+13+12(13)2=1+13+118=1818+618+118=2518\sqrt[3]{e}=1+\frac13+\frac12\left(\frac13\right)^2=1+\frac13+\frac1{18}=\frac{18}{18}+\frac{6}{18}+\frac1{18}=\frac{25}{18}

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