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Ableitungen von e-Funktion - Funktionsschar:

\( f_{a}(t)=\underbrace{20 a \cdot t}_{v} \cdot \underbrace{e^{-0,5 t}}_{v} \quad \begin{array}{l}u^{\prime}=20 a \\ v^{\prime}=e^{-0,5 t} \cdot(-0,5)\end{array} \)

\( u^{\prime} \cdot v+v \cdot v^{\prime} \)

\( 20 a \cdot e^{-0.5 t}+2 \partial a \cdot t+e^{-0.5 t} \cdot(0,5) \)

von

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Hallo,

im zweiten Teil deiner Ableitung muss es heißen \(20at\cdot(-0,5)e^{-0,5t}\)



\( \begin{aligned} f_{a}(t) &=20 a t \cdot e^{-0,5 t} \\ u &=20 a t \quad v=e^{-0,5 t} \\ u^{\prime} &=20 a \quad v^{\prime}=-0,5 e^{-0,5 t} \\ f_{a}^{\prime}(t) &=20 a \cdot e^{-0,5 t}+20 a t \cdot(-0,5) e^{-0,5 t} \\ &=20 a \cdot e^{-0,5 t} \cdot(1-0,5 t) \end{aligned} \)

Gruß, Silvia


von 25 k

Wie kommst du auf die eins bei (1-0.5t)?

Sie hat ausgeklammert.

Das habe auch ich dir empfohlen. :)

\( \frac{20 a e^{-0,5 t}}{20 a e^{-0,5 t}}=1 \)


\( \frac{20 a t \cdot(-0,5) e^{-0,5 t}}{20 a e^{-0,5 t}}=-0,5 t \)

Ist es jetzt klar?

Nein leider noch nicht. Warum rechnest du das jetzt im Bruch. Das verwirrt mich jetzt alles irgendwie.

Stell dir statt des Bruches das Geteilt-Zeichen vor. Wenn du etwas ausklammerst, ist das nichts anderes als Teilen.

Aber wie kommst du auf die 1 in der letzten Zeile:

\( \begin{aligned} f_{a}(t) &=20 a t \cdot e^{-0,5 t} \\ u &=20 a t \quad v=e^{-0,5 t} \\ u^{\prime} &=20 a \quad v^{\prime}=-0,5 e^{-0,5 t} \\ f_{a}^{\prime}(t) &=20 a \cdot e^{-0,5 t}+20 a t \cdot(-0,5) e^{-6} \\ &=20 a \cdot e^{-0,5 t} \cdot(1-0,5 t) \end{aligned} \)

\(\begin{aligned}  f_{a}^{\prime}(t) &=\textcolor{green}{20 a \cdot e^{-0,5 t}}+\textcolor{green}{20 a} t \cdot(-0,5) \textcolor{green}{e^{-0,5 t}} \\ &=\textcolor{green}{20 a \cdot e^{-0,5 t}} \cdot(1-0,5 t) \end{aligned}\)


Das ist das Gleiche wie

\(\textcolor{green}a-5\textcolor{green}ab=\textcolor{green}a\cdot(1-5b)\)

Aber es ist doch nirgendwo eine 1 ?

a:a = 1 oder 9:9 = 1, 9x:9x = 1, 5ab:5ab = 1

Danke jetzt habe ich es verstanden.

Und was ich mein u und was mein v in der zweiten Ableitung?


\( \underbrace{20 a e^{-0,5 t}}_{=u}\cdot\underbrace{(1-0,5 t)}_{=v} \)

Habe das als zweite Ableitung?

\( t_{a}^{\prime}(t)=\frac{20 a \cdot e^{-0.5 t}}{\underline{20 a} t} \cdot \underline{(-0.5) e^{-0.5 t}} \)
\( \underbrace{20 a \cdot e^{-0.5 t}}_{v} \cdot \underbrace{(1-0.5 t)}_{v}, \begin{array}{l}v^{\prime}=\text { doae }^{-0.5 t} \cdot(-0.5) \\ v^{\prime}=0.5\end{array} \)
\( \underline{20 a \cdot e^{-0.5 t}} \cdot(0.5) \cdot(1-0.5 t)+20 a \cdot e^{-0.5 t} \cdot(0.5) \)
\( 20 a \cdot e^{-0.5 t} \cdot(0.5) \cdot(1-0.5 t) \)
\( 20 a \cdot e^{-0.5 t} \cdot(0.5-0.25 t) \)

v' = -0,5 und nicht 0,5



\( \begin{aligned} u &=20 a e^{-0,5 t} \quad v=1-0,5 t \\ u' &=-10 a e^{-0,5 t} \quad v^{\prime}=-0,5 \\ f_{a}^{\prime \prime}(t) &=-10 a e^{-0,5 t} \cdot(1-0,5 t)-10 a e^{-0,5 t} \\ &=-10 a e^{-0,5 t} \cdot(1-0,5 t+1) \\ &=-10 a e^{-0,5 t} \cdot(2-0,5 t) \end{aligned} \)

Wie kommst du darauf das u was anderes ist?

\( \begin{aligned} u &=20 a e^{-0,5 t} \quad v=1-0,5 t \\ u^{\prime} = -10 a e^{-0,5 t} \quad v^{\prime}=-0,5 \\ f_{a}^{\prime \prime}(t) &=-10 a e^{-0,5 t} \cdot(1-0,5 t) \underbrace{-10 a e^{-0,5 t}}_{u} \\ &=-10 a e^{-0,5 t} \cdot(1-0,5 t+1) \\ &=-10 a e^{-0,5 t} \cdot(2-0,5 t) \end{aligned} \)

\(-10ae^{-0,5t}\text{  ist entstanden aus}\\ u\cdot v'\\20ae^{-0,5t}\cdot (-0,5)=-10ae^{-0,5t}\)

Ich hatte das nur schon zusammengefasst.

Ich muss jetzt den Hochpunkt oder Tiefpunkt errechnen und in den Lösungen steht, dass es ein Hochpunkt gibt aber bei mir gibt es einen Tiefpunkt

blob.png

Text erkannt:

\( f_{a}(t)=0 \)
\( 20 a \cdot e^{-0.5 t} \cdot(1-0.5 t)=0 \)
\( \begin{array}{lc}20 a \cdot e^{-0.5 t}=0 & 1-0.5 t=01+1 \\ h & -0.5 t=11 \cdot(-2) \\ t=-2\end{array} \)
\( f_{a}{ }^{\prime \prime}(t) \neq 0 \)
\( -10 a e^{-0,5 t} \cdot(2-0,5 t) \neq 0 \)
\( -10 a \cdot e^{-0,5 t}=0 \quad 2-0,5 t=0 \quad 1+0.5 t \)
\( l_{y} \quad 2=0.5 t 1 \cdot 2 \)
\( 4=t \)
Tiefpenut

\(1-0,5t=0\quad |\textcolor{red}{-}1\\ -0,5t=-1\\t=2\)

\(f_a''(2)=-10ae^{-1}\cdot(2-1)=-\frac{10a}{e}\\ -\frac{10a}{e}<0\text{  ,wenn a>0}\\ -\frac{10a}{e}>0\text{  ,wenn a<0}\)

Habe es erfolgreich geschafft und jetzt gehst es darum die stärkste Abnahme zu berechnen. Habe die dritte Ableitung gebildet.

blob.png

Text erkannt:

\( f_{a}^{\prime \prime}(1)=\underbrace{-10 a e^{-0.5 t}}_{u} \underbrace{(2-0.5 t)}_{v}) \)
\( u^{\prime}=5 a e^{-0.5 t} \)
\( v^{\prime}=-0.5 \)
\( \quad 5 a e^{-0.5 t} \cdot(2-0.5 t)+\left(-10 a e^{-0.5 t}\right) \cdot(-0.5) \)
\( 5 a e^{-0.5 t} \cdot(2-0.5 t)+\left(5 a e^{-0.5 t}\right) \)
\( 5 a e^{-0.5 t} \cdot(2-0.5 t+1) \)
\( \operatorname{sac}^{-0.5 t}(3-0.5 t) \)

Sehr gut, deine Ableitung ist richtig!

Wenn ich jetzt die stärkste Abnahme errechnen möchte ist das der Wendepunkt oder ?

Ja, das ist richtig.

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20a*0,5 = 10a

Klammere 10a*e^(-0,5x) aus zur Darstellung des Ergebnisses.

Statt +e^(-0,5x) muss es lauten *e^(-0,5x) !

von 66 k 🚀

Das verstehe ich noch nicht ganz….

Dein Fehler liegt hier:

Unbenannt.JPG

Hier war es richtig:
Unbenannt1.JPG


Danke. Aber ich weiß echt noch immer nicht wie du auf die eins kommst.

vgl:

a+a*b = 1*a+a*b = a*(1+b)

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Ableitung mit der Produktregel

fa(t) = 20·a·t·e^(- 0.5·t)

u(t) = 20·a·t
u'(t) = 20·a

v(t) = e^(- 0.5·t)
v'(t) = - 0.5·e^(- 0.5·t)

fa'(t) = u'(t)·v(t) + u(t)·v'(t)
fa'(t) = 20·a·e^(- 0.5·t) + 20·a·t·(- 0.5)·e^(- 0.5·t)
fa'(t) = 20·a·e^(- 0.5·t)·1 + 20·a·e^(- 0.5·t)·(- 0.5)·t
fa'(t) = 20·a·e^(- 0.5·t)·(1 + (- 0.5)·t)
fa'(t) = 20·a·e^(- 0.5·t)·(1 - 0.5·t)

oder wenn du noch den Faktor 2 in die Klammer ziehst

fa'(t) = 10·2·a·e^(- 0.5·t)·(1 - 0.5·t)
fa'(t) = 10·a·e^(- 0.5·t)·(2 - t)

Natürlich könnte man auch noch 10·a in die Klammer ziehen

fa'(t) = e^(- 0.5·t)·(20·a - 10·a·t)

von 393 k 🚀

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