Heron-Verfahren - mit Teilaufgaben

Question

Aufgabe:

Wir betrachten das Heron-Verfahren
$x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{y}{x_{n}}\right)$
zur Approximation der Wurzel $x=\sqrt{y}, y \in \mathbb{R}^{+}$mit einem Startwert $x_{0}>0$

(i) Zeigen Sie, daß die Rekursion
$x_{k+1}=x_{k}-\frac{f\left(x_{k}\right)}{f^{\prime}\left(x_{k}\right)}$
für $f(x)=x^{2}-y$ zur gleichen Verfahrensvorschrift führt.

(ii) Für den Fehler $e_{n}:=x_{n}-x$ gilt
$e_{n+1}=\frac{1}{2 x_{n}} e_{n}^{2}$

(iii) Zeigen Sie: Für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt
$\frac{x_{n}-x}{x_{n}+x}=\left(\frac{x_{0}-x}{x_{0}+x}\right)^{2^{n}}$

(iv) Zeigen Sie: Für den relativen Fehler $\widehat{e}_{n}:=\frac{e_{n}}{x}$ gilt
$\widehat{e}_{n+1}=\frac{1}{2\left(1+\widehat{e}_{n}\right)} \widehat{e}_{n}^{2}$

(v) Folgern Sie nun unter der Voraussetzung $\widehat{e}_{0} \in(0,1 / 3)$ die Konvergenz des Verfahrens, d.h. $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \widehat{e}_{n}=0$

Problem/Ansatz

Ich habe die erste (i).

Bei (ii) bin ich nur bis 1/2(x_n*2x_nx²+(x²)/x_n) gekommen

Beim (iii) weiß ich nicht wie ich den Bruch mit 2ⁿ umschreibe.

Beim (iv) bin ich nur bis 1/2((e²_n)/(x²+e_n)

Beim (v) weiß ich noch nicht

Wäre sehr dankbar wenn jemand mir helfen könnte.

Comments

$$\begin{aligned}\textsf{(ii)}\ e_n^2&=(x_n-x)^2\\&=x_n^2-2x_nx+x^2\\&=x_n^2-2x_nx+y\\&=x_n(x_n+\tfrac y{x_n}-2x)\\&=x_n(2x_{n+1}-2x)\\&=2x_n(x_{n+1}-x)\\&=2x_ne_{n+1}.\end{aligned}$$

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Vielen Dank für die (ii)

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Die (iv) hätte ich jetzt auch.

Bräuchte nur noch wie man bei (iii) die 2ⁿ rechnet.

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Hallo,

es ist dieselbe Technik, wie bei den anderen Teilaufgaben:

$$x_{n+1} \pm x=\frac{1}{2x_n} (x_n^2+x^2 \pm2xx_n)=\frac{1}{2x_n}(x_n \pm x)^2$$

Und dann geht's mit Induktion weiter

Gruß Mathhilf