Warum ist ∑i=1,i=n(-i+n+1) = ∑i=1,i=n(i)?

Question

Aufgabe:

Warum ist ∑_i=1ⁿ(-i+n+1) = ∑_i=1ⁿ(i) ?

Ich weiß, dass ∑_i=1ⁿ(-i+n+1) = ∑_i=1ⁿ(-i) + n² + n, das hilft mir aber nicht weiter.

Answer 1

Aloha :)

Schreibe die Summenglieder einfach in der umgekehrten Reihenfolge auf:$$\sum\limits_{i=1}^n\left(-i+n+1\right)=\sum\limits_{i=1}^n\left(n+1-i\right)$$$$\phantom{\sum\limits_{i=1}^n\left(-i+n+1\right)}=\underbrace{(n+1)-1}_{=n}+\underbrace{(n+1)-2}_{=n-1}+\underbrace{(n+1)-3}_{=n-2}+\cdots+\underbrace{(n+1)-n}_{=1}$$$$\phantom{\sum\limits_{i=1}^n\left(-i+n+1\right)}=1+\cdots+(n-2)+(n-1)+n$$$$\phantom{\sum\limits_{i=1}^n\left(-i+n+1\right)}=\sum\limits_{i=1}^ni$$