Zeige oder widerlege: Matrix ist eine Darstellungsmatrix einer orthogonalen Projektion

Question

Aufgabe:

Zeige oder Wiederlege:

Die Matrix

A = \( \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -1  & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \)

ist die Darstellungsmatrix einer orthogonalen Projektion p: V → V. Hier bei ist V = ℝ³ versehen mit dem kanonischen Skalarprodukt.

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass die Aussage stimmt.

Die einzigen Begründungen die mir einfallen sind, dass die Matrix selbstadjungiert ist (da sie symmetrisch ist) und zu prüfen, ob sie nur die Eigenwerte 0 und 1 - hat sie tatsächlich, aber ist sehr aufwendig zu bestimmen. Hat Jemand noch andere Vorschläge, warum die Matrix eine Darstellungsmatrix einer orthogonalen Projektion ist?

Answer 1

Eine Projektion \(p\) erfüllt die Gleichung \(p^2=p\). Demnach müsste

auch \(A^2=A\) gelten. Es ist aber \(A^2=3A\). Also ist \(A\)

nicht die darstellende Matrix einer Projektion.

Soll die Matrix hier vielleicht \(\frac{1}{3}A\) sein???

Ich gehe mal davon aus und behandle daher \(B=\frac{1}{3}A\).

Wenn man die drei Zeilen von \(B\) addiert, erhält man eine Nullzeile,

je zwei Zeilen sind jedoch linear unabhängig, d.h. \(0\)

ist Eigenwert mit 1-dimensionalem Eigenraum.

Subtrahiert man auf der Diagonalen \(\lambda=1\), so werden alle Zeilen gleich,

der Rang der Matrix also \(1\). \(\lambda=1\) ist also ein Eigenwert mit geometrischer

Vielfachheit 2. Ferner ist \(B\) wegen \(B^2=B\) eine Projektion.

Insgesamt ergibt sich,

dass \(B\) die darstellende Matrix einer orthogonalen Projektion ist,

da die Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix zu verschiedenen

Eigenwerten orthogonal zu einander sind.