Bestimmen Sie die kleinstmögliche Fehlerschranke c ∈ ℝ , sodass | f(-1,-3) - f(0,-2) | < gleich c gilt

Question

Gegeben sei eine differenzierbare Funktion f: D -> ℝ mit Definitionsbereich

D = {\( \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \) ∈ ℝ^2 | x ∈ ] -3,4] -4,-1[ } ⊆ ℝ^2

Weiterhin sei | \( \frac{∂f}{∂x} \) (p) | ≤ 3 und | \( \frac{∂f}{∂y} \) (p)| ≤ 5 für alle p ∈ D.

Bestimmen sie die kleinstmögliche Fehlerschranke c ∈ ℝ, sodass

| f(-1,-3) - f(0,-2) | ≤ c gilt.

Dann ist c = ____

Heyy, kann mir jemand da helfen?

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

$$\left|f(-1;-3)-f(0;-2)\right|\le\left|\operatorname{grad}f(0;-2)\cdot\left[\binom{-1}{-3}-\binom{0}{-2}\right]\right|=$$$$\phantom{\left|f(-1;-3)-f(0;-2)\right|}=\left|\binom{\frac{\partial f}{\partial x}(0;-2)}{\frac{\partial f}{\partial y}(0;-2)}\binom{-1}{-1}\right|=\left|-\frac{\partial f}{\partial x}(0;-2)-\frac{\partial f}{\partial y}(0;-2)\right|$$$$\phantom{\left|f(-1;-3)-f(0;-2)\right|}=\left|\frac{\partial f}{\partial x}(0;-2)+\frac{\partial f}{\partial y}(0;-2)\right|\le\left|\frac{\partial f}{\partial x}(0;-2)\right|+\left|\frac{\partial f}{\partial y}(0;-2)\right|$$$$\phantom{\left|f(-1;-3)-f(0;-2)\right|}\le3+5=8$$

Comments

Danke dir :)

grad f(0;-2) hast du das hier von:

| f(-1,-3) - f(0,-2) | ? und wie hast du unten weiter gerechnet, sodass du 8 herausbekommen hast?

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Ich habe mittels$$\Delta f=f(\vec r+\Delta\vec r)\le\left|\operatorname{grad}f(\vec r)\cdot\Delta\vec r\right|$$den Fehler bestimmt. Die detaillierte Rechnung steht oben. Welcher Rechenschritt ist dir denn unklar?

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Mir ist nicht genau klar, wie du später auf 3 und 5 gekommen bist, also was ich rechnen muss sodass ich halt 3 und 5 erhalte....

aber ich versuch es mal nochmal

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Ich habe die Dreiecksungleichung verwendet:$$|a+b|\le|a|+|b|$$Danach konnte ich dann die angegebenen Fehler einsetzen.

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Hallo,

Wieso gilt die erste Abschätzung, speziell das Argument im Gradienten? Sollte es nicht eher eine Zwischnstelle sein?

Gruß Mathilf

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Aloha Mathhilf ;)

Man könnte auch eine Zwischenstelle im Argument des Gradienten nehmen. Das hatte ich auch überlegt, wollte die Antwort aber nicht zu kompliziert machen. Da die Abschätzung der partiellen Ableitungen aus der Aufgabenstellung für den gesamten Definitionsbereich gilt, ist die gewählte Stelle letztendlich nicht entscheidend.

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Das ändert nichts daran, dass die erste Ungleichung allgemein falsch ist. Ich rate dem Fragesteller, sich über den Mittelwertsatz in seiner korrekten Form zu informieren.