Gleichung lösen: (x2) - ux/(u-v) + u²/(uv-v²) = (ux/v)

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Hallo,

erst einmal die Gleichung in die "Normalform" bringen:

$x^{2}-\frac{u x}{u-v}+\frac{u^{2}}{u v-v^{2}}=\frac{u x}{v} \quad |-\frac{u x}{v}$

$x^{2}-\frac{u x}{u-v}-\frac{u x}{v}+\frac{u^{2}}{u v-v^{2}}=0$

$x^{2}+\left(-\frac{u}{u-v}-\frac{u}{v}\right) \cdot x+\frac{u^{2}}{u v-v^{2}}=0$

$x^{2}+\left(-\frac{u}{u-v}-\frac{u}{v}\right) \cdot x+\frac{u^{2}}{(u-v) \cdot v}=0$

$x^2 -\frac{u^{2}}{(u-v) \cdot v} \cdot x+\frac{u^{2}}{(u-v) \cdot v}=0$

$x^{2} \cdot(u-v) \cdot v-u^{2} x+u^{2}=0$

$\left(u v-v^{2}\right) x^2-u^{2} x+u^{2}=0$

$a=uv-v^2\quad b=-u^2\quad c=u^2$

Mitternachtsformel:

$x_{1 / 2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$

$=\frac{u^{2} \pm \sqrt{u^{4}-4\left(u v-v^{2}\right) \cdot u^{2}}}{2\left(u v-v^{2}\right)}$

$=\frac{u^{2} \pm \sqrt{u^{4}-4 u^{3} v+4 u^{2} v^{2}}}{2\left(u v-v^{2}\right)}$

$=\frac{u^{2} \pm \sqrt{\left(u^{2}-2 u v\right)^{2}}}{2\left(u v-v^{2}\right)}$

$=\frac{u^{2} \pm\left(u^{2}-2 u v\right)}{2\left(u v-v^{2}\right)}$

1. Fall:

$\frac{u^{2}+u^{2}-2 u v}{2\left(u v-v^{2}\right)}=\frac{2 u^{2}-2 u v}{2\left(u v-v^{2}\right)}=\frac{2 u(u-v)}{2\left(u v-v^{2}\right)}$

$=\frac{2 u(u-v)}{2 v(u-v)}=\frac{u}{v}$

Den 2. Fall schaffst du sicherlich selber.

Gruß, Silvia

Beantwortet 6 Okt 2021 von Silvia

Ein anderes Problem?

_user36509 · Answer 1 · 2021-10-06T18:00:28+0000

(x ²) - (ux/u-v) + u²/(uv-v²) = (ux/v)

x² -u/(u-v) *x - (u/v)*x + u²/(uv-v²) = 0

x² -[u/(u-v) + u/v]*x + u²/(uv-v²) = 0

Hier sieht man schon, dass nach Vieta u/(u-v) und u/v Lösungen sind.

Mit der Lösungsformel wird es umständlich.

x=0.5*[u/(u-v) + u/v]±√(0.25*[u/(u-v) + u/v]²-u²/(uv-v²)]

...

:-)