Heron-Algorithmus und Intervallschachtelung

Question

Liebe Forum-Mitglieder,

Aufgabe:

Begründe, dass bei der Intervallschachtelung von Seite 10 für $\sqrt{2}$ die Genauigkeit der Näherung pro Schritt um eine Stelle zunimmt. Beschreibe weiter, um wie viele Stellen die Genauigkeit der Näherung beim Heron-Algorithmus schrittweise zunimmt, wenn der Startwert 1 ist. Gib an, welches der beiden Verfahren bei der Bestimmung von Näherungswerten für $\sqrt{2}$ effektiver ist.

Intervallschachtelung von Seite 10 für $\sqrt{2}$:

Problem/Ansatz:

Da man bei einer Intervallschachtelung versucht durch das Eingrenzen von $\sqrt{2}$  seinen Wert anzunähern, nimmt auch die Genaugkeit mit jedem Schritt zu. Doch welches Verfahren ist effektiver?

Comments

Eines der beide Verfahren, die verglichen werden sollen ist das Heron-Verfahren. Wie funktioniert das andere?

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Wie kommt man bei der Intervallschachtelung (s. Bild) im zweiten Schritt (blau) auf $\color{blue}[1,4;\,1,5]$?

Answer 1

Hallo,

Begründe, dass bei der Intervallschachtelung von Seite 10 für $\sqrt{2}$ die Genauigkeit der Näherung pro Schritt um eine Stelle zunimmt.

Das kann man natürlich nur begründen, wenn man weiß, wie diese "Intervallschachtelung" funktioniert. Es scheint wohl so zu sein, dass einfach mit der nächsten (freien) Ziffer alle Zahlen im gefunden Intervall durchprobiert werden.
D.h. man beginnt bei $1$ und probiert die Zehnerstelle durch$$\begin{array}{cl}x& x^2\\\hline 1.0& 1\\ 1.1& 1.21\\ 1.2& 1.44\\ 1.3& 1.69\\ 1.4& 1.96\\ 1.5& 2.25\end{array}$$Aha! das nächste Intervall wäre $[1,4;\,1,5]$, dort ist der Übergang von $x^2\lt2$ zu $x^2\gt2$. Weiter geht's mit der Hundertstellstelle:$$\begin{array}{cl}x& x^2\\\hline 1.40& 1.96\\ 1.41& 1.9881\\ 1.42& 2.0164\end{array}$$hier wird man schneller fündig bei $[1,41,\,1,42]$. Nächster Schritt:$$\begin{array}{cl}x& x^2\\\hline 1.410& 1.9881\\ 1.411& 1.990921\\ 1.412& 1.993744\\ 1.413& 1.996569\\ 1.414& 1.999396\\ 1.415& 2.002225\end{array}$$gibt $[1,414,\,1,415]$. usw.

Das Heron-Verfahren dagegen verdoppelt in etwa die Anzahl der Nachkommastellen mit jedem Schritt. Außerdem hat man pro Schritt weniger Rechenaufwand:$$\begin{array}{ll}x& x^2\\\hline 1& 1\\ 1.5& 2.25\\ 1.42& 2.006944444\\ 1.4142& 2.000006007\\ 1.414213562& 2\end{array}$$es ist also wesentlich effektiver

Answer 2

hier eine weitere Methode:

Comments

Das Heron-Verfahren für $\sqrt{a}$ ergibt sich als Rekursionsvorschrift aus dem Newton-Verfahren für die Nullstellen der Funktion $f(x)=x^2-a$ mit $a>0$.

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Hat der FS das Newton-Verfahren überhaupt genannt?