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Aufgabe:

Welche Beziehumg muss zwischen den Koeffizienten b und c bestehen, Damit der Graph von f mit f(x) = x³ + bx + cx + d einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente hat?

Zeigen Sie, dass die Funktion f in diesem Fall keine Extremstellen hat.

von

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Welche Beziehumg muss zwischen den Koeffizienten b und c bestehen, Damit der Graph von f mit f(x) = x³ + bx + cx + d einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente hat?

f(x) = x^3 + b·x^2 + c·x + d

f'(x) = 3·x^2 + 2·b·x + c

f''(x) = 6·x + 2·b = 0 --> x = - b/3

f'(- b/3) = 3·(- b/3)^2 + 2·b·(- b/3) + c = 0 --> c = b^2/3

von 396 k 🚀

War es nicht "bx"  ?

sicher nicht, denn dann könnte man bx und cx zusammenfassen oder nicht ?

Na und ?  Dann könnte man wohl auch (b+c)x schreiben .

Eigentlich würde das kein halbwegs vernünftiger Mathematiker so machen oder?

Wobei ich damit nach sagen will das ich dich nicht für halbwegs vernünftig halte.

Warum sollte ich also b + c für etwas schreiben wenn ich dafür auch z schreiben kann? Das macht für mich keinen Sinn.

Also unterstellen wir mal einen Tippfehler

beim Fragesteller. Der äußert sich ja vielleicht noch.

Ja. Ich würde vielleicht sogar ein Tippfehler vom Mathelehrer nicht ausschließen.

Aber ich bin mir ziemlich sicher, dass die Aufgabe nicht so gemeint ist wie sie dort steht.

Mathecoach hat recht, es liegt ein Tippfehler vor

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Außer Konkurrenz:

Wenn die Funktion 3-ten Grades Extremalstellen besäße, würde eine Wendestelle

echt zwischen 2 Extremalstellen liegen. Dann gäbe es in unserem Falle

3 Stellen mit waagrechter Tangente, so dass die Ableitung mindestens den Grad 3,

die Funktion selbst also mindestens den Grad 4 haben müsste.

von 5,7 k
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Ich möchte den bisherigen unkreativen Standard-Antworten gern einen anderen Aspekt entgegensetzen.

Die Funktion f(x)=x³ und jede Funktion der Form f(x)=ax³ (mit a ≠0) haben offensichtlich die geforderte Eigenschaft.

Das mit dem a können wir bei dieser Aufgabe ignorieren, weil offensichtlich a=1 vorausgesetzt ist.

Es handelt sich bei den gesuchten Funktionen um solche, die aus irgendeiner Verschiebung des Graphen von x³ hervorgehen. Die Funktionsgleichung solcher Funktionen ist

f(x)=(x-u)³+v.

Somit gilt x³ + bx² + cx + d=(x-u)³+v=x³-3ux²+3u²x-u³+v.

Den fälligen Koeffizientenvergleich nebst der Erkenntnis der Bedeutungslosigkeit des Absolutglieds überlasse ich der geneigten Leserschaft.

von 31 k
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f(x) = x³ + bx + cx + d

f ' (x) = 3x^2 + b + c

f ' ' (x)  = 6x

f ' '  (x) = 0  ==>    x = 0

f ' ' ' (0) = 6 Also WP bei x=0 .

Dort waagerechte Tangente ==>  f ' (0) = 0

                 <=>          b+c = 0

Also die gesuchte Beziehung b=-c.

Also folgt f ' (x) = 0 <=>   3x^2 = 0   <=>   x=0 .

Dort ist aber der WP. Also gibt es keine Extrema.

von 235 k 🚀
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"Welche Beziehung muss zwischen den Koeffizienten b und c bestehen, Damit der Graph von f mit f(x) = x³ + bx^2 + cx + d einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente hat?"

f´(x)=3x^2+2bx+c

f´´(x)=6x+2b

6x+2b=0

x=-\( \frac{1}{3} \)b

f´(-\( \frac{1}{3} \)b )=3(-\( \frac{1}{3} \)b )^2+2b(-\( \frac{1}{3} \)b )+c=\( \frac{1}{3} \)b^2-\( \frac{2}{3} \)b^2+c=-\( \frac{1}{3} \)b^2+c

-\( \frac{1}{3} \)b^2+c=0

c=\( \frac{1}{3} \)b^2

von 15 k

Extrem schrecklicher Code...

Du darfst ihn gerne bearbeiten!

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