Analysis Textaufgabe Baustelle

Question

Ich habe folgende Probleme bei der Aufgabe a und b in diesem Link :

http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~hb3/HA/K2dev03.pdf

Skizze habe ich schon.

 .

Answer 1

 

erst einmal meine Skizze für f₂(t) - ich hoffe, sie stimmt mit Deiner überein:

f(t) = 0,5t³ - 3t² + 4t

 

Bedeutung positiver und negativer Funktionswerte dieser Funktion:

f(t) beschreibt die Änderungsrate der Staulänge; deshalb bedeutet jeder positive Funktionswert eine Zunahme dieser Länge, jeder negative Wert eine Abnahme.

Achtung: Auch zwischen 7 Uhr und 8 Uhr nimmt die Staulänge zu, wenn auch nicht so stark wie zuvor. Erst ab 8 Uhr nimmt die Staulänge ab, weil dann f(t) < 0.

 

Wann nimmt die Staulänge am schnellsten zu? Am Maximum von f(t), also

f'(t) = 1,5t² - 6t + 4 = 0

t² - 4t + 4/1,5 = 0

t_1,2 = 2 ± √(4 - 4/1,5) ≈ 2 ± 1,15

t₁ ≈ 3,15

t₂ ≈ 0,85

f''(t) = 3t - 6

f''(3,15) = 9,45 - 6 = 3,45 > 0 => Minimum an der Stelle t = 3,15

f''(0,85) = 2,55 - 6 = - 3,45 < 0 => Maximum an der Stelle t = 0,85

Also nimmt die Staulänge am schnellsten um 6 Uhr + 0,85 Stunden zu.

 

Wann hat der Stau die maximale Länge erreicht?

In dem Moment unmittelbar bevor seine Länge wieder abnimmt; aus der Skizze sieht man, dass dies um 8 Uhr sein muss.

Das gilt, wenn f(t) = 0 ist.

f(t) = 0,5t³ - 3t² + 4t = t * (0,5t² - 3t + 4)

t₁ = 0 | Da fängt der Stau aber erst an

0,5t² - 3t + 4 = 0

t² - 6t + 8 = 0

t_1,2 = 3 ± √(9 - 8) = 3 ± 1

t₁ = 4

t₂ = 2

Im betrachteten Zeitintervall hat der Stau um 8 Uhr seine maximale Länge erreicht.

 

Hier kann man ganz hübsch den Zusammenhang zwischen f(t) = Veränderung der Staulänge und F(t) = Staulänge sehen:

 

In der Skizze sieht man, dass die maximale Staulänge um 8 Uhr 2km beträgt. Aber wie berechnet man dies?

Wir müssen die Nullstelle von F'(t) finden (notwendige Bedingung für Maximum) und sehen, ob F''(t) an dieser Stelle < 0 ist (hinreichende Bedingung).

Da F'(t) = f(t) ist, wissen wir von oben schon, dass f(2) = 0 ist.

F''(2) = f'(2) = 1,5 * 2² - 6 * 2 + 4 = -2 < 0, also hat F(t) an t = 2 (entspricht 8 Uhr) ein Maximum.

 

Maximale Staulänge:

F(2) = 0,5/4 * 2⁴ - 2³ + 2 * 2² = 2

 

Term für die Staulänge zum Zeitpunkt t in Abhängigkeit von a:

f_a(t) = 0,5t³ - 1,5a * t² + a² * t

Staulänge also:

F_a(t) = 0,5/4 * t⁴ - 0,5a * t³ + a²/2 * t²

 

Für welche Werte von a beträgt um 8 Uhr die Staulänge 3km?

F_a(2) = 0,5/4 * 2⁴ - 0,5a * 2³ + a²/2 * 2² = 3

 

Die Auflösung nach a machst Du bitte selbst :-)

 

Besten Gruß

Comments

Ich habe fertig :-)

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Dankeschön.

Ich habe die Aufgaben auch komplett fertig gemacht :D
Ich habe eine Frage bei : Also nimmt die Staulänge am schnellsten um 6 Uhr + 0,85 Stunden zu.

Muss man da nicht 0,85 * 60 min. machen ? D.h. 0,85 * 60 min. = 50 min , d.h. 6:50 Uhr

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@icecream:

Richtig, so rechnet man es - allerdings ist

0,85 * 60 min = 51 min

:-)