Beweis von Supremum bei Betragszeichen

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie, ob die folgenden Mengen ein Infimum, Supremum, Minimum bzw. Maximum
haben, und bestimmen Sie gegebenenfalls deren Werte:

(a) A := { |−x| / 1+x : x ≥ 0}

----  Behauptung: min A= 0 , sup A=1

----- Das Minimum konnte ich problemlos beweisen.

----- Für das Supremum:

|−x| / 1+x <1

|−x| < 1+x

0 < 1

Da 0<1 gilt, ist 1 eine obere Schranke.

----- Zeige, dass 1 die kleinste obere Schranke ist.

sei s ELEMENT |R

Dann existiert kein x ELEMENT A , sodass x > -s / 1+s > 0

Uuund ich komm nicht weiter.

Answer 1

Aloha :)

Wir betrachten die Menge$$A\coloneqq\left\{a(x)\coloneqq\frac{|-x|}{1+x}\;\bigg|\;x\ge0\right\}$$Wir formen zunächst den Bestimmungsterm für die Elemente etwas um. Wegen \(x\ge0\) ist \(|-x|=x\) und wir können die Betragszeichen weglassen:$$a(x)=\frac{\left|-x\right|}{1+x}=\frac{x}{1+x}=\frac{1+x-1}{1+x}=\frac{1+x}{1+x}-\frac{1}{1+x}=1-\frac{1}{1+x}\quad;\quad x\ge0$$

Untere Grenze

Wegen \(x\ge0\) können wir eine Aussage über die unter Grenze der Menge \(A\) ableiten:$$x\ge0\implies1+x\ge1\implies\frac{1}{1+x}\le1\implies-\frac{1}{1+x}\ge-1\implies1-\frac{1}{1+x}\ge0$$Der Wert \(0\) wird für \(x=0\) tatsächlich angenommen. Daher ist \(a(0)=0\) das Minimum der Menge \(A\).

Obere Grenze

Wir betrachten den Bestimmungsterm für wachsende \(x\to\infty\):$$a(x)=1-\frac{1}{1+x}$$Der Bruch \(\frac{1}{1+x}\) nähert sich immer stärker der \(0\) an, ohne aber jemals \(0\) zu werden. Daher wird die obere Grenze \(1\) von keinem \(a(x)\) jemals erreicht und stellt eine obere Grenze für \(a(x)\) dar:$$a(x)<1$$Wir prüfen nun, ob \(1\) auch das Supremum ist. Dazu nehmen wir an, es gibt eine kleinere obere Grenze \(0<g<1\). Für diese müsste dann ja gelten:$$a(x)\le g\implies1-\frac{1}{1+x}\le g\implies-\frac{1}{1+x}\le g-1\implies\frac{1}{1+x}\ge1-g$$$$\phantom{a(x)\le g}\implies1+x\le\frac{1}{1-g}\implies x\le\frac{1}{1-g}-1=\frac{g}{1-g}$$Egal wie wir \(g\) auch wählen, für \(x>\frac{g}{1-g}\) übertrifft \(a(x)\) diese Grenze, gilt also \(a(x)>g\). Daher gibt es keine kleinere obere Grenze als die \(1\). Sie ist daher das Supremum der Menge \(A\).

Comments

Ehre

Vielen Dank!

Answer 2

Hallo

vielleicht sollte man als erstes schreiben, wegen x>=0 ist |-x|=x

hallo

nimm an es gibt eine Schranke <1 also S=1-r r>0 dann zeige, dass es dazu kein x>=0  gibt,

was du schreibst mit " x > -s / 1+s > 0" verstehe ich nicht was soll s sein?

lul

Comments

Ich verstehs auch nicht ahahah