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Aufgabe:

2.1. Die Fibonacci-Zahlen 1,1,2,3,5, 1,1,2,3,5, \ldots werden rekursiv definiert durch a0 : =1,a1 : =1 a_{0}:=1, a_{1}:=1 und an+1 : =an+an1 a_{n+1}:=a_{n}+a_{n-1} für n1 n \geq 1 . Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass 1an+1an2 1 \leq \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \leq 2 für n0 n \geq 0 .

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Wie weit bist du denn gekommen, eigentlich ist das nicht sehr schwer, du kannst auch im forum nachsehen, da gibts die Frage schon mal

lul

Eigentlich alles

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Beste Antwort

a1a0=1 \frac{a_1}{a_0} = 1 liegt im Intervall [1;2] also

Induktionsanfang gegeben.

Wenn es bis zu einem gewissen n immer stimmt, muss man

zeigen, dass es dann auch für n+1 stimmt, dass also gilt

1an+2an+12 1 \leq \frac{a_{n+2}}{a_{n+1}} \leq 2

Mit der Rekursion gibt das

1an+an+1an+12 1 \leq \frac{a_{n}+a_{n+1}}{a_{n+1}} \leq 2

1an+1an+an+1an+12 1 \leq \frac{a_{n+1}}{a_{n}} + \frac{a_{n+1}}{a_{n+1}} \leq 2

1anan+1+12 1 \leq \frac{a_{n}}{a_{n+1}} + 1 \leq 2

0anan+11 0 \leq \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \leq 1     #

Da nach Ind.annahme gilt

1an+1an2 1 \leq \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \leq 2

liegt der Kehrwert zwischen 1 und 0,5, also ist # erfüllt.

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