Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass 1 ≤ \frac{an+1}{an} ≤ 2 für n ≥ 0 .

Question

Aufgabe:

2.1. Die Fibonacci-Zahlen $1,1,2,3,5, \ldots$ werden rekursiv definiert durch $a_{0}:=1, a_{1}:=1$ und $a_{n+1}:=a_{n}+a_{n-1}$ für $n \geq 1$. Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass $1 \leq \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \leq 2$ für $n \geq 0$.

Comments

Wie weit bist du denn gekommen, eigentlich ist das nicht sehr schwer, du kannst auch im forum nachsehen, da gibts die Frage schon mal

lul

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Eigentlich alles

Answer 1

$$\frac{a_1}{a_0} = 1$$ liegt im Intervall [1;2] also

Induktionsanfang gegeben.

Wenn es bis zu einem gewissen n immer stimmt, muss man

zeigen, dass es dann auch für n+1 stimmt, dass also gilt

$$1 \leq \frac{a_{n+2}}{a_{n+1}} \leq 2$$

Mit der Rekursion gibt das

$$1 \leq \frac{a_{n}+a_{n+1}}{a_{n+1}} \leq 2$$

$$1 \leq \frac{a_{n+1}}{a_{n}} + \frac{a_{n+1}}{a_{n+1}} \leq 2$$

$$1 \leq \frac{a_{n}}{a_{n+1}} + 1 \leq 2$$

$0 \leq \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \leq 1$    #

Da nach Ind.annahme gilt

$$1 \leq \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \leq 2$$

liegt der Kehrwert zwischen 1 und 0,5, also ist # erfüllt.