Begründen Sie Ihre Antwort mit einem Beweis oder einem Gegenbeispiel!

Question

Aufgabe:

Schnittbild
Das Bilden von Urbildern vertauscht mit Vereinigungen und Schnitten: für beliebige Abbildungen \( f: M \rightarrow N \) und beliebige Familien von Teilmengen \( N_{i} \subseteq N \) gilt
\( f^{-1}\left(\bigcup_{i \in I} N_{i}\right)=\bigcup_{i \in I} f^{-1}\left(N_{i}\right) \quad \text { und } \quad f^{-1}\left(\bigcap_{i \in I} N_{i}\right)=\bigcap_{i \in I} f^{-1}\left(N_{i}\right) \)
Beweisen Sie das! Wie sieht es mit Bildern aus? Gilt auch \( f\left(\bigcup_{i \in I} M_{i}\right)=\bigcup_{i \in I} f\left(M_{i}\right) \) für beliebige Teilmengen \( M_{i} \subseteq M ? \) Beantworten Sie das! Begründen Sie Ihre Antwort mit einem Beweis oder einem Gegenbeispiel! Gilt \( f\left(\bigcap_{i \in I} M_{i}\right)=\bigcap_{i \in I} f\left(M_{i}\right) ? \) Beantworten Sie das! Begründen Sie Ihre Antwort mit einem Beweis oder einem Gegenbeispiel!

Answer 1

z.B.

\( f^{-1}\left(\bigcup_{i \in I} N_{i}\right)=\bigcup_{i \in I} f^{-1}\left(N_{i}\right) \quad \)

Etwa so: Sei \( x ∈ f^{-1}\left(\bigcup_{i \in I} N_{i}\right) \)

==> Es gibt ein \( y ∈ \bigcup_{i \in I} N_{i} \)  mit  f(x)=y

==>  Es gibt ein i ∈ I mit y∈N_i und f(x)=y

==>   Es gibt ein i ∈ I mit y∈ f^(-1)(N_i)

==>  \(  x ∈ \bigcup_{i \in I} f^{-1}\left(N_{i}\right) \quad\)

Also ist schon mal gezeigt

\( f^{-1}\left(\bigcup_{i \in I} N_{i}\right)  \subseteq \bigcup_{i \in I} f^{-1}\left(N_{i}\right) \quad \)

Die andere Inklusion geht entsprechend.