Flächen unter Funktionsgraphen Integralrechnung x3-x

Question

Aufgabe:

c) f(x) x³-x von Kurve und x-Achse im 4. Quadranten eingeschlossene Fläche

d) f(x)x³-x Fläche zwischen Kurve und x-Achse über dem Intervall [0;2]

Problem/Ansatz:

Weiß leider nicht wie ich hier bei der Aufgabenstellung vorgehen muss

Answer 1

Aloha :)

Um ein Gefühl für die Aufgabe zu kriegen, schauen wir uns den Graphen der Funktion an:

Plotlux öffnen

f₁(x) = x³-xZoom: x(0…2,2) y(-1…8)

zu a) Im ersten Teil sollen wir die Fläche im 4-ten Quadranten bestimmen. Dazu brauchen wir die Nullstellen:$$f(x)=x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)$$Die Funktion hat die Nullstellen bei $-1$, $0$ und $+1$. Im 4-ten Quadranten ist $x\ge 0$ und $y\le 0$. Für $x\ge0$ sind die Faktoren $x$ und $x+1$ ebenfalls $\ge0$. Damit die Funktion negativ ist, muss also $(x-1)<0$ sein, also $x<1$. Die gesuchte Fläche ist also:

$$F_a=\left|\int\limits_0^1f(x)\,dx\right|=\left|\int\limits_0^1\left(x^3-x\right)\,dx\right|=\left|\left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}\right]_0^1\right|=\left|\frac14-\frac12\right|=\frac14$$

zu b) Nun müssen wir zusätzlich zu der Fläche aus Teil (a) noch die Fläche zwischen $x=1$ und $x=2$ addieren:$$F_b=F_a+\int\limits_1^2\left(x^3-x\right)dx=\frac14+\left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}\right]_1^2=\frac14+\left(\frac{16}{4}-\frac42\right)-\left(\frac14-\frac12\right)=\frac52$$

Answer 2

c) Nullstellen: x=0; x=±1

$\int\limits_{-1}^{0}$ (x³-x) dx=$\frac{1}{4}$

Answer 3

c) f(x)= $x^{3}$-x von Kurve und x-Achse im 4. Quadranten eingeschlossene Fläche

Nullstellen:

x*(x²-1)=0

x₁=0

x²-1=0

x₂=1

x₃=-1

Extrema: f´(x)=0

f´(x)=3x²-1

3x²-1=0

x^2=$\frac{1}{3}$

x₁=$\frac{1}{3}$*$\sqrt{3}$ → f($\frac{1}{3}$*$\sqrt{3}$)=-0,38 

Dieser Extremwert liegt nun im 4.Quadranten:

$A=\int \limits_{0}^{1}\left(x^{3}-x\right) \cdot d x=\left[\frac{1}{4} x^{4}-\frac{1}{2} x^{2}\right]_{0}^{1}=\left[\frac{1}{4} \cdot 1^{4}-\frac{1}{2} \cdot 1^{2}\right]-\left[\frac{1}{4} \cdot 0^{4}-\frac{1}{2} \cdot 0^{2}\right]=-\frac{1}{4}$
Da es keine negativen Flächen gibt, gilt $A=\left|-\frac{1}{4}\right|=0,25 F E$