Aloha :)
Wenn man den Nenner eines Bruches verkleinert, wird der Bruch größer, daher gilt:$$\frac{k+1}{4k^3-3}<\frac{k+1}{4k^3-4}=\frac{k+1}{4(k^3-1)}=\frac{k+1}{4(k-1)(k^2+k+1)}$$Ein Bruch wird größer, wenn sein Zähler vergrößert wird:$$\qquad<\frac{k+1+\frac1k}{4(k-1)(k^2+k+1)}=\frac{\frac1k\cdot(k^2+k+1)}{4(k-1)(k^2+k+1)}=\frac{1}{4k(k-1)}=\frac{1}{4}\left(\frac1{k-1}-\frac1k\right)$$
Damit gilt folgende Abschätzung:$$\sum\limits_{k=2}^N\frac{k+1}{4k^3-3}<\sum\limits_{k=2}^N\frac{1}{4}\left(\frac1{k-1}-\frac1k\right)=\frac14\left(\sum\limits_{k=2}^N\frac1{k-1}-\sum\limits_{k=2}^N\frac1{k}\right)=\frac14\left(\sum\limits_{k=1}^{N-1}\frac1{k}-\sum\limits_{k=2}^N\frac1{k}\right)$$$$\qquad=\frac14\left( \left( \frac11+\sum\limits_{k=2}^{N-1}\frac1k\right)-\left(\sum\limits_{k=2}^{N-1}\frac1k+\frac1N \right) \right)=\frac14\left(1-\frac1N\right)$$
Also konvergiert die Reihe und es gilt:$$\sum\limits_{k=2}^\infty\frac{k+1}{4k^3-3}\le\frac14$$
