Zeigen sie Im Ring Z

Question

Aufgabe:
b) (i) Im Ring $\left(\mathbb{Z}_{5},+, \cdot\right)$ zeigen Sie (indem Sie beide Seiten ausrechnen), dass $(1+2)^{5}=$ $1^{5}+2^{5}$.
(ii) War das in (i) ein "Zufall", oder steckt mehr dahinter? Um das zu klären: Beweisen Sie, dass für alle $a, b \in \mathbb{Z}_{5}$ gilt $(a+b)^{5}=a^{5}+b^{5}$, oder widerlegen Sie diese Aussage, indem Sie ein Gegenbeispiel finden.

Anmerkung zu A12: Addition '+' und Multiplikation '.' in $\mathbb{Z}_{n}$ sind, wie immer, "modulo $n$ " geneint, und $k^{5}=k \cdot k \cdot k \cdot k \cdot k$.

Problem/Ansatz:

Blick Hier nicht durch

Danke im Voraus

Comments

$(1+2)^3 = 3^5 = 3 \cdot 3^4 = 3 \cdot 81 = 243 \equiv 3 \mod (5)$

$1^5 + 2^5 = 1 + 32 = 33 \equiv 3 \mod (5)$

Also $(1+2)^5 \equiv 1^5 + 2^5 \mod (5)$

---

Allgemein ist $(a+b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$. Wenn man den binomischen Lehrsatz nicht kennt muss man das halt von Hand ausmultiplizieren...

Damit ist aber

$(a+b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5 \equiv a^5 + b^5 \mod (5)$

Alle Vielfache von 5 fallen modulo 5 nämlich weg. Also nein, das ist kein Zufall.

https://en.wikipedia.org/wiki/Freshman%27s_dream