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Sei X X binomial verteilt mit Parameter n n und p p . Berechnen Sie E[X(X1)] \mathbb{E}[X(X-1)] .

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E[X(X1)]=E[X2X]=E[X2]E[X] \mathbb{E}[X(X-1)]=\mathbb{E}\left[X^{2}-X\right]=\mathbb{E}\left[X^{2}\right]-\mathbb{E}[X]
Nun weisst du ja, dass
Var[X]=E[X2]E[X]2E[X2]=Var[X]+E[X]2 \operatorname{Var}[X]=\mathbb{E}\left[X^{2}\right]-\mathbb{E}[X]^{2} \Longleftrightarrow \mathbb{E}\left[X^{2}\right]=\operatorname{Var}[X]+\mathbb{E}[X]^{2}
Da X X binomialverteilt ist ergibt sich
E[X2]E[X]=Var[X]+E[X]2E[X]=np(1p)+n2p2np=p2(n2n) \mathbb{E}\left[X^{2}\right]-\mathbb{E}[X]=\operatorname{Var}[X]+\mathbb{E}[X]^{2}-\mathbb{E}[X]=n p(1-p)+n^{2} p^{2}-n p=p^{2}\left(n^{2}-n\right)

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