Berechnen Sie E[X(X-1)]

Question

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Sei $X$ binomial verteilt mit Parameter $n$ und $p$. Berechnen Sie $\mathbb{E}[X(X-1)]$.

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Answer 1

$\mathbb{E}[X(X-1)]=\mathbb{E}\left[X^{2}-X\right]=\mathbb{E}\left[X^{2}\right]-\mathbb{E}[X]$
Nun weisst du ja, dass
$\operatorname{Var}[X]=\mathbb{E}\left[X^{2}\right]-\mathbb{E}[X]^{2} \Longleftrightarrow \mathbb{E}\left[X^{2}\right]=\operatorname{Var}[X]+\mathbb{E}[X]^{2}$
Da $X$ binomialverteilt ist ergibt sich
$\mathbb{E}\left[X^{2}\right]-\mathbb{E}[X]=\operatorname{Var}[X]+\mathbb{E}[X]^{2}-\mathbb{E}[X]=n p(1-p)+n^{2} p^{2}-n p=p^{2}\left(n^{2}-n\right)$