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Sei X X X binomial verteilt mit Parameter n n n und p p p. Berechnen Sie E[X(X−1)] \mathbb{E}[X(X-1)] E[X(X−1)].
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E[X(X−1)]=E[X2−X]=E[X2]−E[X] \mathbb{E}[X(X-1)]=\mathbb{E}\left[X^{2}-X\right]=\mathbb{E}\left[X^{2}\right]-\mathbb{E}[X] E[X(X−1)]=E[X2−X]=E[X2]−E[X]Nun weisst du ja, dassVar[X]=E[X2]−E[X]2⟺E[X2]=Var[X]+E[X]2 \operatorname{Var}[X]=\mathbb{E}\left[X^{2}\right]-\mathbb{E}[X]^{2} \Longleftrightarrow \mathbb{E}\left[X^{2}\right]=\operatorname{Var}[X]+\mathbb{E}[X]^{2} Var[X]=E[X2]−E[X]2⟺E[X2]=Var[X]+E[X]2Da X X X binomialverteilt ist ergibt sichE[X2]−E[X]=Var[X]+E[X]2−E[X]=np(1−p)+n2p2−np=p2(n2−n) \mathbb{E}\left[X^{2}\right]-\mathbb{E}[X]=\operatorname{Var}[X]+\mathbb{E}[X]^{2}-\mathbb{E}[X]=n p(1-p)+n^{2} p^{2}-n p=p^{2}\left(n^{2}-n\right) E[X2]−E[X]=Var[X]+E[X]2−E[X]=np(1−p)+n2p2−np=p2(n2−n)
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