Modulorechnen mit Rechenweg

Question

Aufgabe: Berechnen mit Rechenweg

1) 10  ^ 5760  mod 30030

2) die letzten beiden Dezimalstellen von 89⁴³
 * die letzten beiden Dezimalstellen bedeutet mod 100

Dh. die Aufgabe ist: 89^43mod 100

Comments

Eulersche Phi Funktion $\varphi(100) = \varphi(2^2 \cdot 5^2) = 2^{2-1}(2-1) \cdot 5^{2-1}(5-1) = 2 \cdot 20 = 40$.

Somit ist $89^{40} \equiv 1 \mod (100)$ nach dem Satz von Euler. (Es gilt ggT(89,100)=1)

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sehr interessanter Lösungsweg

Answer 1

2) Bedenke 89¹⁰ = ................01

also auch 89⁴⁰ = ................01

*89 gibt was mit ................89

*89 gibt was mit ................21

*89 gibt was mit ................69

Also sind die letzten beiden bei dir 69.

Comments

 "Bedenke 89 ^ 10 = ................01"

und wie kommt man bitte denn darauf?

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Man berechnet 89¹ mod 100, 89² mod 100, 89³ mod 100 usw. bis man auf 01 kommt.

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Kann man noch abkürzen :

89² =  7921

==>  89³ endet auf die letzten beiden Ziffern von 7921*89=...69

wieder mal 89 gibt sowas 89⁴=  .......41

also 89⁸=  ....41*....41= ...81

Das mal 7921 gibt ........01.

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Danke für die Erklärung. An sich ist der Lösungsweg auch interessant aber leider ohne Taschenrechner nicht umsetzbar, denn man kommt auf letzten Stellen (01) erste bei 89¹⁰

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Ken Mensch hat verlangt, dass du 89^(10) ausrechnen musst. Du must in jedem Schritt nur eine Zahl zwischen 0 und 99 mit 89 multiplizieren

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aha okay jetzt macht mehr Sinn. danke