Wie ist die Gültigkeit der Formel von Euler aus der Taylorreihe?

Question

Aufgabe:

Wie folgt die Gültigkeit der Formel von Euler aus der Taylorreihe? (Skizzieren Sie den Beweis. Wie lautet die Formel von Euler? Wie bestimmt man die Taylorreihen der vorkommenden Funktionen?)

Problem/Ansatz:

Wie kommt man von der Formel von Euler (e^ix = cos(x)  + i*sin(x)) -> (ich glaub das ist die Formel Euler) zu der Taylorgleichung bzw. dem Beweis

f(x) = a0 +a1*x .....

Answer 1

Es ist wohl umgekehrt:

Taylorreihe ==>   Formel von Euler

Betrachte dazu die Taylorreihen der 3 Funktionen

$exp(z) = \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}$

$cos(z) = \sum \limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n\frac{z^{2n}}{(2n)!}$

$sin(z) = \sum \limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\frac{z^{2n-1}}{(2n-1)!}$

Wenn du bei exp(z) für z dann ix einsetzt und beachtest, dass

die Potenzen von i immer der Reihe nach die Werte i -1 -i +1 i -1 -i +1

annehmen, dann hast du es schon.