Aloha :)
Der Vektor \(\vec b=(3|-2|0)^T\) hat die \(z\)-Koordinate \(0\), liegt also selbst bereits in der \(xy\)-Ebene. Unser Vektor \(\vec a=(a_1|a_2|a_3)^T\) soll auch in der \(xy\)-Ebene liegen, also ist \(a_3=0\). Nun sollen \(\vec a\) und \(\vec b\) noch senkrecht stehen:
$$0\stackrel!=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3\\-2\\0\end{pmatrix}=3a_1-2a_2\implies 2a_2=3a_1\implies a_2=1,5a_1$$Damit haben wir alle zu \(\vec b\) senkrechten Vektoren, die selbst in der \(xy\)-Ebene liiegen, gefunden:
$$\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1\\1,5a_1\\0\end{pmatrix}=a_1\cdot\begin{pmatrix}1\\1,5\\0\end{pmatrix}$$
Geometrisch ist das eine Gerade durch den Urpsrung des Koordinatensystems, die in der \(xy\)-Ebene verläuft und dort die Funktionsgleichung \(y=1,5x\) hat.
Nach Hinweis von abakus: Ich habe den Ursrung des Koordinatensystems an den Startpunkt des Vektors \(\vec b\) gelegt. Der Vektor \(\vec a\) geht dann ebenfalls vom Ursprung aus, sodass beide Vektoren denselben Ausgangspunkt haben.
