Beweis neutrales Element in Vektorraum

Question

Aufgabe:

Es geht um Vektorräume, und nun sei gegeben:

V = $\begin{pmatrix} x1\\x2\\x3 \end{pmatrix}$ : x1,x2,x3 ∈ ℝ, x1>0

$\begin{pmatrix} x1\\x2\\x3 \end{pmatrix}$  ⊕  $\begin{pmatrix} x'1\\x'2\\x'3 \end{pmatrix}$  =  $\begin{pmatrix} x1x'1\\((x2)^3+(x'2)^3)^{1/3}\\x3+x'3+1 \end{pmatrix}$

Die Aufgabe lautet: Beweise $\begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix}$ sei das neutrale Element für ⊕.

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz war eigentlich zu zeigen dass folgendes gilt:

$\begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix}$ ⊕ $\begin{pmatrix} x1\\x2\\x3 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} x1\\x2\\x3 \end{pmatrix}$

Aber dies gilt in dem Fall ja nicht... bzw. was mache ich falsch? evtl. komplett falsche Herangehensweise?

Ich freue mich über Antworten! Vielen Dank :)

Comments

Wenn ich das rechne, gilt es !
Benutzt du denn die richtige Verknüpfung?

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Vielen Dank für die Antwort. Du liegst richtig, ich habe die Verknüpfung falsch angewendet :)

Answer 1

Hallo

doch es gilt, wenn du die gegebene Additionsregel an wendest (die gestrichenen Werte sind deine ungestrichenenm die unterstrichenen die (1,0,-1) : erste Komponente 1*x1

2te 0+x3

3te -1+x3+1=x3

Gruß lul

Comments

Vielen Dank für die klärende Antwort. Ich habe die Verknüpfung falsch angewendet, danke für die Aufschlüsselung!

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Nun doch noch eine ergänzende Frage zu der Verknüpfung.

Um das Additionsaxiom zu beweisen, wäre dies für den ersten Schritt:

($\begin{pmatrix} x1\\x2\\x3 \end{pmatrix}$  ⊕  $\begin{pmatrix} x'1\\x'2\\x'3 \end{pmatrix}$)  ⊕  $\begin{pmatrix} x''1\\x''2\\x''3 \end{pmatrix}$ =  $\begin{pmatrix} x1x'1x''1\\((x2)^3+(x'2)^3+(x''2)^3)^{1/3}\\x3+x'3+x''3+1 \end{pmatrix}$

Oder wende ich die Verknüpfung falsch an? Mit der Reihenfolge bin ich etwas unsicher, wäre die letzte Zeile evtl. {x3+x'3+x''3+2} ?

Vielen Dank im voraus!

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Hallo

ja die ersten 2 Komponenten sind richtig, die dritte mit +2 wie deine eigene Vermutung.

Gruß lul

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Super, vielen Dank!