Zeigen Sie, dass für jedes a ∈ G die Abbildungen Bijektionen sind.

Question

Aufgabe:

Sei G eine Gruppe.
Zeigen Sie, dass für jedes a ∈ G die Abbildungen fa, fa´ : G -> G, fa(x) a * x und f´a(x) = x * a Bijektionen sind.

Würde mich sehr über Hilfe freuen!

Answer 1

Nehmen wir mal f_a .

Um "injektiv" zu beweisen musst du zeigen

 f_a(x) = f_a(y) ==>     x=y

Dies folgt so  a*x = a*y | * (von links mit a^(-1) , was ja in der Gruppe existiert )

                x = y .

"surjektiv"   Sei y ∈ G . Zeige: Es gibt x ∈ G mit f_a(x)=y .

Also suche ein x mit  a*x = y

                  also x = a^(-1) * y .

Wegen der Abgeschlossenheit von G ist a^(-1) * y ∈ G,

also ist auch "surjektiv" gezeigt.