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Aufgabe:

b) Ein Polynom P : CC P: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} vierten Grades habe reelle Koeffizienten. Es gelte ferner P(i)=P(1+2i)=0 P(i)=P(-1+2 i)=0 und P(1)=8 P(1)=8 . Berechnen Sie die Koeffizienten von P. P . Hinweis: Fundamentalsatz der Algebra (s. Vorl.) beachten. Welche (komplexen) Linearfaktoren kennen Sie?


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Bei Polynomen mit reellen Koeffizienten treten echt komplexe Nullstellen stets als Paare komplex konjugierter Zahlen auf. Das heißt, ist λ = x + iy eine Nullstelle, so auch λ = x − iy

p(x) : =a4  x4+a3  x3+a2  x2+a1  x+a0\small p(x) \, := \, a_4 \; x^{4} + a_ 3 \; x^{3} + a_2 \; x^{2} + a_1 \; x + a_0

{p(i)=0,p(i)=0,p(1+2  i)=0,p(12  i)=0,p(1)=8}\small \left\{ p\left(i \right) = 0, p\left(-i \right) = 0, p\left(-1 + 2 \; i \right) = 0, p\left(-1 - 2 \; i \right) = 0, p\left(1 \right) = 8 \right\}

löse das GLS

f(x) : =12  x4+x3+3  x2+x+52f(x) \, := \, \frac{1}{2} \; x^{4} + x^{3} + 3 \; x^{2} + x + \frac{5}{2}

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